Mathe-Treff: Lösung der
Knobel-Aufgaben für die Klassen 7 und 8
Juli/August 1997

1. Aufgabe:
   In der 2. Spalte ist CDB _ HB = AF, also F = 0.
   In der 1. Zeile ist AB + CDB = EC0, also B = 5.
   In der 3. Zeile ist die Summe von zweistelligen Zahlen dreistellig, also C = 1.
   In der 1. Zeile ist A5 + 1D5 = E10; da E nicht 1 sein kann, muß E=2.
   In der 1. Spalte ist A5 – 2G = D2, also G = 3.
   In der 3. Spalte ist 210 – 10H = 102, also H = 8.
   In der 1. Zeile ist A5 + 1D5 = 210, also A + D = 10.
   In der 1. Spalte ist A5 – 23 = D2, also A – 2 = D.
   Die beiden letzten Gleichungen zusammen ergeben A = 6; D = 4.
   
2. Aufgabe
   Wenn der Schnitt durch eine Kante des Würfels geht, erhöht sich an dieser Stelle die Eckenzahl um 2. Geht der Schnitt aber durch eine Würfelecke, erhöht sich die Eckenzahl nur um 1, da die entstehenden Teilkörper dort zwar zwei Ecken haben, eine Ecke des Würfels durch den Schnitt aber zerstört wird.
   Wenn die Schnittebene nur eine oder zwei Ecken und keine Kante des Würfels trifft, entstehen keine zwei Teilkörper. Daher müssen mindestens 3 Ecken getroffen werden, und die Eckenzahl erhöht sich um 3.
   Durch Veränderung der Lage der Schnittebene kann man versuchen, die Anzahl der neu entstehenden Kanten zu erhöhen. Jede der 6 Begrenzungsebenen des Würfels kann durch die Schnittebene aber höchstens einmal getroffen werden. Daher kann die Schnittfläche höchsten ein Sechseck sein, das den Würfel in 6 Kanten schneidet. Damit kann sich die Eckenzahl höchstens um 12 erhöhen.
   In der Abbildung sind die Extremwerte und alle möglichen Zwischenwerte dargestellt. In einigen Fällen gibt es auch andere Möglichkeiten, die Schnittebene zu legen, um die gewünschte Erhöhung zu erhalten.
   Es fällt auf, daß eine Erhöhung um 11 nicht dargestellt ist. Es wird bewiesen, daß sie nicht möglich ist.
   Wenn sich die Eckenzahl nämlich um 11 erhöhen würde, müßte der Schnitt durch eine Würfelecke gehen, da 11 ungerade ist. An dieser Würfelecke treffen 3 Würfelflächen zusammen. Die Schnittebene kann höchstens zwei dieser Würfelflächen schneiden, die dritte wird nur im Eckpunkt getroffen. Nun bleiben noch drei Würfelflächen übrig, die von der Schnittebene getroffen werden können. Damit kann die Schnittfläche aber höchstens ein Fünfeck sein. Da eine der Ecken des Fünfecks bereits in einer Würfelecke liegt, können höchstens 4 Würfelkanten geschnitten werden, und die Eckenzahl erhöht sich höchstens um 9.
   

   
   

3. Aufgabe
   Die Schachtel mit der Aufschrift ‚GR‘ enthält entweder zwei rote oder zwei grüne Bonbons.
   Angenommen aus dieser Schachtel wird ein rotes Bonbon entnommen. Dann weiß man, daß sie noch ein weiteres rotes Bonbon enthält. Die Schachtel ‚RR‘ enthält die grünen Bonbons und ‚GG‘ ein rotes und ein grünes Bonbon.
   Wird hingegen aus der Schachtel ‚GR‘ ein grünes Bonbon entnommen, enthält sie noch ein weiteres grünes Bonbon. ‚GG enthält dann die beiden roten Bonbons und ‚RR‘ ein rotes und ein grünes.