Mathe-Treff: Lösung der
Knobel-Aufgaben für die Klassen 9 und 10
Juli/August 1997

1. Aufgabe:
   In der 3. Spalte ergibt sich sofort, dass H = 0 und A = C + 1.
   In der 1. Zeile ist das Produkt von zweistelligen Zahlen dreistellig. Also kann höchstens den Wert 3 haben. Da aber A > C und C nicht mehr 0 sein kann, kann A auch nicht 1 sein.
   Angenommen, A = 2. Dann ist C = 1. Nach der Multiplikation in der 1. Zeile muss aber mindestens 4 sein. Widerspruch!
   Angenommen, A = 3. Dann C = 2. 3B*32 ist aber größer als 900, also müsste C mindestens 9 sein. Widerspruch!
   Beide Möglichkeiten, die für A noch blieben, führen auf einen Widerspruch, also ist das Zahlenschema nicht lösbar.
   
2. Aufgabe
   
   1. Er muss 6 Mal gekippt werden, und zwar über die Kanten AB, BF, BC, CD, DH und DA.
   2. und c.

   	A	B	C	D	M
   AB	Kein Weg	Kein Weg	Viertelkreis mit r=a	Viertelkreis mit r=a	Viertelkreis mit
   BF	Viertelkreis mit r = a	Kein Weg	Viertelkreis mit r=a	Viertelkreis mit r=a	Viertelkreis mit
   BC	Viertelkreis mit r=a	Kein Weg	Kein Weg	Viertelkreis mit r=a	Viertelkreis mit
   CD	Viertelkreis mit r=a	Viertelkreis mit r=a	Kein Weg	Kein Weg	Viertelkreis mit
   DH	Viertelkreis mit r=a	Viertelkreis mit r=a	Viertelkreis mit r=a	Kein Weg	Viertelkreis mit
   DA	Kein Weg	Viertelkreis mit r=a	Viertelkreis mit r=a	Kein Weg	Viertelkreis mit
   	Kreis mit r = a	¾ Kreis mit r = a	Kreis mit r = a	¾ Kreis mit r = a

   
   
   

3. Aufgabe
   a) und b)
   Es ist 7¹=7; 7²=49; 7³=343; 7⁴=2401. Da die letzte Ziffer eines Produktes durch das Produkt der letzten Ziffern der Faktoren bestimmt ist, müssen sich bei den weiteren Potenzen von 7 die Endziffern 7, 9, 3, 1 in dieser Reihenfolge immer wiederholen. Wenn der Exponent durch 4 teilbar ist, ist die Endziffer der Potenz 1, bleibt bei der Division des Exponenten durch 4 der Rest 1, ist die Endziffer der Potenz 7 usw.
   Da 78 bei Division durch 4 den Rest 2 hat, muss die Endziffer von 7⁷⁸ die Ziffer 9 sein.
   
   c) Die beiden letzten Ziffern eines Produktes werden vom Produkt der letzten Ziffern der Faktoren bestimmt. Betrachtet man jedoch
   
   so sieht man, dass alle Summanden bis auf den letzten den Faktor 100 enthalten. Bei einer 20. Potenz werden also die beiden letzten Ziffern durch die 20. Potenz der letzten Ziffer der Basis bestimmt.
   Endziffer der Basis 0: Endziffern von a²⁰ sind 00;
   Endziffer der Basis 1: Endziffern von a²⁰ sind 01;
   Endziffer der Basis 2: 2²⁰=1048576 schafft der Taschenrechner gerade noch;
   Endziffer der Basis 3: 3²⁰=(3¹⁰)²=(...49)²= ...01
   Endziffer der Basis 4: 4²⁰=(2²⁰)²=(...76)²= ...76
   Endziffer der Basis 5: 5²⁰=(5⁴)⁵=625⁵= ...25
   Endziffer der Basis 6: 6²⁰=3²⁰*2²⁰=(...01)*(...76)= ...76
   Endziffer der Basis 7: 7²⁰=(7⁴)⁵=(...01)⁵=... 01
   Endziffer der Basis 8: 8²⁰=4²⁰*2²⁰=(...76)*(...76)= ...76
   Endziffer der Basis 9: 9²⁰=(3²⁰)²=(...01)²= ...01
   
   Ist also a gerade und nicht durch 5 teilbar, so sind die Endziffern der Potenz 76. Ist aber gerade und durch 5 teilbar, so endet die Potenz auf 00. Ist a ungerade und nicht durch 5 teilbar, hat die Potenz die Endziffern 01. Bei ungeraden, durch 5 teilbaren Zahlen endet die Potenz auf 25.