Mathe-Treff: Lösung der Knobel-Aufgaben
für die Klassen 9 und 10
September/Oktober 1997

1. Wenn man die Zahlen nach ihrem Rest bei Division durch 3 sortiert, erhält man drei Teilmengen mit jeweils 33 Elementen:
   {1,4,7,...,97}, {2,5,8,...,98}, {3,6,9,...,99}.
   
   Die Summe dreier Zahlen ist genau dann durch 3 teilbar, wenn alle drei Zahlen zur gleichen Teilmenge gehören oder wenn aus jeder Menge eine Zahl gewählt wird.
   Werden 3 Zahlen aus jeder Menge gewählt, gibt es unter Berücksichtigung der Reihenfolge 33 · 32 · 31 Möglichkeiten.
   Da die Reihenfolge der Auswahl in der Aufgabe keine Rolle spielt, ist durch die Anzahl der gleichwertigen Antworten zu dividieren. Da es 3 ! Möglichkeiten gibt, 3 Zahlen anzuordnen, hat man 5456 Möglichkeiten, die drei Zahlen aus einer Menge zu untersuchen.
   Wird aus jeder Menge eine Zahl ausgewählt, gibt es 33 · 33 · 33 = 35937 Möglichkeiten.
   Insgesamt ergeben sich also 3 · 5456 + 35937 = 52305 Möglichkeiten.
   
2.  
   1. Vorüberlegung:
      Das Geburtsjahr ist eine vierstellige Zahl mit der Tausenderziffer 1.
      Die Quersumme einer solchen Zahl kann höchstens 28 sein, d.h. das Alter (a) von P kann bestenfalls 28 betragen, P also nicht vor 1960 geboren sein.
      
   2. Lösung (1):
      Betrachtet man die Jahre von 1960 bis 1969, so nimmt die Quersumme q von 16 auf 25 zu, das Alter (a) von 28 Jahren bis auf 19 Jahre ab. Die Variablen a und q nehmen für 1966 den gleichen Wert an:
      q = 22 ; a = 22.
      Betrachtet man die Jahre 1970 bis 1979 bzw. 1980 bis 1988, so durchläuft die Quersumme die Werte 17 bis 26 bzw. 18 bis 36, während a die Werte von 18 bis 9 bzw. 8 bis durchläuft, d. h. es gibt keine Jahreszahl mit a = q.
      
      Lösung (2):
      Das Geburtsjahr ist eine vierstellige Zahl mit der Tausenderziffer 1 und der Hunderterziffer 9 (s. Vorüberlegungen).
      X sei die Zehnerziffer und y die Einerziffer des Geburtsjahres (g) mit
      x, y Î IN₀ und 0 £ x £ 9 und 0 £ y £ 9
      Es gilt dann:
      g = 1900 + 10 x + y
      a = 1988 - [ 1900 + 10 x + y ]
      q = 1 + 9 + x + y
      Wegen q = a folgt,
      1 + 9 + x + y = 1988 - [ 1900 + 10 x + y ]
      x =
      Der Zähler des Bruches muss eine durch 11 teilbare positive Zahl sein, d.h. für y sind die Wert 6, 17 und 28 möglich. Es kann aber nur y = 6 und somit x = 6 gelten, d.h. das Geburtsjahr von P ist  1966 mit a = 22 und q = 22.
      
3.  
   2. 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 = 441
   3. Die rechten Terme sind Quadratzahlen.
      1² = 1 ; (1+2)²=9 ; ( 1+2+3)² = 36 ; ( 1+2+3+4)² = 100 ; ...
      
      Die linken Terme bestehen aus Summen von Kubikzahlen.
      1³=1 ; 2³ = 8 ; 3³ = 27 ; 4³=64 ; 5³=125 ; 6³=216 ; 7³=343 ;
      1³+ 2³ + 3³ +4³+ 5³+ 6³+ 7³ = ( 1+2+3+4+5+6+7)² = 28² = 784
   4. Es scheint ,dass die Summe der ersten n Kubikzahlen dem Quadrat der Summe der Basen dieser Zahlen entspricht. Also:
      ( Jetzt folgt die Lösung einer Anregung von Nikola Broussev,
      E-mail: e9327270@stud3.tuwien.ac.at )
      Anmerkung:
      Da die vollständige Induktion kein Thema der Jahrgangsstufe 10 ist, wird hier bewusst auf einen formalen Beweis (es würde eh keinem nützen) verzichtet.
      1³+2³+3³+4³+...+n³ = ( 1+2+3+4+...+n)²
      S(n) = 1³+2³+3³+4³+...+n³ = [ n · ( n+1)/2]²   das stimmt für jedes
      n Π IN, vgl. Arithmetische Reihen)
      Ebenso gilt es für: n = 1 - durch Schluss von n auf den Nachfolger (n+1) beweist sie die gefundene Gesetzmäßigkeit:
      S( n+1 ) = S(n) + (n+1)³ = [n·(n+1) / 2]² + (n+1)³ = [(n+1)(n+2) / 2]²
   5. Für die sechste und siebte Zeile heißen die Lösungen somit:
      
      (6): 1+8+27+64+125 +216 = 1³+2³+3³+4³+5³+6³ = [ 6· ( 6+1 ) / 2 ]²
      = 21² = 441
      
      (7): 1+8+27+64+125 +216+343 = 1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³
      = [ 7· ( 7+1 ) / 2 ]² = 28² = 784