Mathe-Treff: Knobel-Aufgaben für die Klassen 9 und 10
Juli/August 1997

1. In dem folgenden Zahlenschema müssen alle Buchstaben durch Ziffern ersetzt werden. Verschiedene Buchstaben sind auch verschiedene Ziffern. Beweise, dass es keine Zuordnung von Ziffern zu Buchstaben gibt, die das Zahlenschema löst.

   AB * AC = CDE
   * +
   EF + AB = GH
   ____________________
   DBB - IG = AKE 

2. Ein Würfel mit den Bezeichnungen A, B, C, ... H für die Eckpunkte liege auf der Grundfläche mit den Eckpunkten A, B, C, D. Der Würfel soll auf der Ebene nur über seine Kanten gekippt werden.
   1. Wie oft muss der Würfel mindestens gekippt werden, bis er über alle vier Kanten der Grundfläche gekippt worden ist?
   2. Wie sehen die Wege aus, die die Eckpunkte der Grundfläche ausführen, wenn eine Folge von Kippbewegungen aus Teil a) durchgeführt wird? Vergleiche die Weglängen durch Zeichnung bzw. Berechnung.
   3. Beziehe in den Vergleich auch den Weg und die Weglänge des Würfelmittelpunktes mit ein.

   
   
   
   
   

3. Endziffern von Potenzen
   
   1. Welche Endziffer hat die Zahl 1077⁷⁸?
   2. Bestimme die Endziffer der Zahl 7ⁿ mit n aus N in Abhängigkeit von n.
   3. Für eine natürliche Zahl a endet a²⁰ auf eines der Ziffernpaare 00, 01, 25 oder 76. Beweise diese Aussage und zeige auf, in welcher Weise die Endziffern davon abhängen, ob a gerade oder ungerade oder durch 5 teilbar ist.