Mathe-Treff: Lösung der Knobel-Aufgaben
für die Klassen 9 und 10
März bis 14. Mai 1998

1. Aufgabe:

Wir überprüfen zunächst die zweistelligen Zahlen. Wenn die Zahl die Ziffern a und b hat, hat sie den Wert 10a + b und die Quersumme a + b. Die Bedingung der Aufgabe lautet also 10a + b = 5(a + b) oder 5a = 4b.
Gesucht ist ein Vielfaches von 5, das durch 4 teilbar ist. 5a könnte also 20 oder 40 sein. 40 ist aber nicht möglich, da dann b = 10 wäre. Also gibt es nur die Möglichkeit a=4 und b=5. Damit erhät man als einzige zweistellige Zahl, die das Fünffache ihrer Quersumme ist, die Zahl 45.
Wir überprüfen nun die dreistelligen Zahlen. Die Quersumme einer dreistelligen Zahl kann höchstens 27 sein. Das Fünffache von 27 ist 135. Mögliche Zahlen können also nicht größer als 135 sein. Bis zur Zahl 135 ist die höchste vorkommende Quersumme aber 1 + + 9 = 12. Das Fünffache aller möglichen Quersummen von dreistelligen Zahlen bis 135 ist also nie größer als 60. Deshalb kann es keine dreistellige Zahl geben, die die Bedingung erfüllt.
Bei vierstelligen Zahlen ist die größte Quersumme 36. Da 36 x 5 aber dreistellig ist, gibt es auch in diesem Zahlenbereich keine Lösung. Entsprechen kann es auch bei den noch größeren Zahlen keine geben, die das Fünffache ihrer Quersumme sind.

2. Aufgabe:

1. 1998 = 665 + 666 + 667.
2. und c) werden gemeinsam betrachtet. Wir behaupten, daß die Zahl durch 3 teilbar sein muß, wenn es eine solche Summendarstellung gibt.
   Die drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen seien n-1, n und n+1. Dann ist ihre Summe n - 1 + n + n + 1 = 3n durch 3 teilbar. Da 1999 nicht durch 3 teilbar ist, kann es die Summendarstellung nicht geben.
   Umgekehrt wird nachgewiesen, daß jede durch 3 teilbare Zahl x wirklich eine solche Summendarstellung hat.
   Sei x durch 3 teilbar. Dann ist x/3 eine natürliche Zahl und x/3 – 1 + x/3 + x/3 + = x.

3. Aufgabe:

Der Winkel bei P sei a . Da das Teildreieck APC gleichschenklig ist, sind die Winkel bei A und C in diesem Teildreieck 90° - a /2.
Der Winkel bei P im Teildreieck PBC hat die Größe 180° - a Da der Winkel bei B die Größe a /2 hat, hat der Winkel bei in rechten Teildreieck die Größe a /2.
Der gesamte Winkel bei C hat also die Größe 90°.
Da in Teildreieck PBC die Winkel bei B und C gleich sind, ist auch dieses Dreieck gleichschenklig. Deshalb ist die Strecke von P nach B so lang wie a1, also so lang wie a. P liegt also genau in der Mitte zwischen A und B.