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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9 und 10
November/Dezember 1999
Aufgabe 1:
- Die Lösung des Gleichungssystems lautet:
 .
Die Lösung von Frank lautet:  .
Obwohl die Zahl 802 von 812 nur wenig abweicht, liegen die Lösungen der Gleichungssysteme
extrem weit auseinander.
- Die Gleichungen können als Geradengleichungen interpretiert werden. Im eigentlichen
Gleichungssystem hat die erste Gerade eine Steigung von
 und die zweite eine Steigung von  . Die Steigungen sind etwa
gleich. Die steilere Gerade schneidet die y-Achse bei 4, die andere Gerade bei 2. Deshalb
muss der Schnittpunkt der beiden Geraden weit im negativen Bereich liegen.
Die falsch aufgeschriebene Gerade hat nur eine andere Steigung, nämlich  . Sie ist jetzt nicht so steil
wie die zweite Gerade. Da die Schnittpunkte mit der y-Achse unverändert liegen, befindet
sich der Schnittpunkt der Geraden jetzt weit im positiven Bereich.
Aufgabe 2:
x sei die Zahl, die aus den ersten Ziffern besteht, y sei die Zahl, die aus den beiden
letzten Ziffern besteht. Die zu prüfende Zahl hat dann den Wert 100 ×
x +y. Statt dessen wird 2 × x +y auf Teilbarkeit durch 7
geprüft.
Nun ist 100 × x + y = 98 × x + (2 × x + y) . 98 ist durch 7 teilbar. Die Summe 98 ×
x + (2 × x + y) ist also genau dann durch 7 teilbar,
wenn 2 × x + y durch 7 teilbar ist.
Aufgabe 3:
Wenn von den vier Zahlen eine auf 0 endet, endet das Produkt auch auf 0.
Wenn von den vier Zahlen eine auf 5 endet, endet das Produkt auf 0, da wenigstens eine
gerade Zahl unter den vier Zahlen ist.
Zu untersuchen sind nur noch zwei Fälle:
- die erste der aufeinanderfolgenden Zahlen endet auf 1. Dann enden die anderen auf 2, 3,
4, und das Produkt hat die Endziffer 4 ;
- die erste der aufeinanderfolgenden Zahlen endet auf 6. Dann enden die anderen auf 7, 8,
9, und das Produkt hat die Endziffer 4 .
Somit sind nur die Endziffern 0 oder 4 möglich.
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