Mathe-Treff: Knobel-Aufgaben für die Klassen 9 und 10
November/Dezember 1999

1. Die Schülerinnen und Schüler einer Klasse sollen das folgende Gleichungssystem lösen:
   
   Frank hat sich verschrieben und statt mit 812 mit 802 gerechnet. Als er seine Lösung mit der Lösung seiner Mitschüler vergleicht, wundert er sich sehr.
   1. Welche erstaunliche Beobachtung hat Frank gemacht?
   2. Wie läßt sich die Beobachtung erklären?

    

2. Einfache Teilbarkeitsregeln sind allgemein bekannt, z. B. die Quersummenregel für Teilbarkeit durch 3. Eine etwas weniger bekannte Regel gibt es für die Teilbarkeit durch 7. Sie lautet:

   Schneide von der Zahl die beiden letzten Stellen ab, multipliziere den Rest mit 2 und addiere die abgeschnittenen Stellen. Prüfe die erhaltene Zahl auf Teilbarkeit durch 7.

   Beispiel: Prüfe 24192 auf Teilbarkeit durch 7. Bilde 2*241+92=574. Bilde 2*5+74 = 84. Da 84 durch 7 teilbar ist, ist auch 574 durch 7 teilbar und deshalb auch 24192.

   Beweise die Gültigkeit dieser Teilbarkeitsregel.

    

3. Untersuche, welche Endziffern ein Produkt aus 4 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen haben kann.
   Begründe Deine Ergebnisse.