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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 11 bis 13
Januar/Februar 2000

Aufgabe 1:

Die Schnecke besteht aus rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreiecken. Da in der Aufgabe die Hypothenuse des n-ten Dreiecks auch die Kathete des (n+1)-ten Dreiecks ist, wird zur Berechnung der Satz des Pythagoras benutzt, der durch die Tatsache, dass die zwei Katheten gleich sind, von c²=a²+b² nach c²=2a² abgeändert werden muss. Somit ist
l15-6.gif (187 Byte) mit l15-7.gif (143 Byte)

Da die Länge der Kathete des ersten Dreiecks gleich 1 ist ergibt sich diese Folge:
l15-8.gif (1680 Byte)
Anhand dieser Folge kann man vermuten, dass als explizite Darstellung
l15-9.gif (161 Byte)
gewählt werden kann. Als Beweis kann eine vollständige Induktion dienen:

Induktionsanfang:
l15-10.gif (236 Byte)
Induktionsvoraussetzung:
l15-11.gif (161 Byte)
Induktionsbehauptung:
l15-12.gif (165 Byte)
Induktionsschritt:
l15-13.gif (1297 Byte)
q.e.d.

Nach fünf Teilstrecken beträgt die Länge der Schnecke also
l15-14.gif (498 Byte)
Wenn drei Teilstrecken dazukommen, also 5+3=8 Teilstrecken, dann hat die Schnecke eine Länge von
l15-15.gif (697 Byte)

Aufgabe 2:

  1. Da S5 die Summe der ersten fünf ungeraden, positiven Zahlen darstellt, muss es wie folgt aussehen:
    l15-16.gif (242 Byte)
  2. Die Summe der ersten 7 ungeraden, positiven Zahlen (S7) lautet:
    l15-17.gif (320 Byte)
    Und die Summe der ersten 10 ungeraden, positiven Zahlen (S10) lautet:
    l15-18.gif (435 Byte)
  3. Da S5=25, also 5² ist und S7=49, also 7² und S10=100, also 10² ist, liegt die Vermutung nahe, dass Sn=n² ist.
  4. Induktionsanfang:
    l15-19.gif (202 Byte)
    Induktionsvoraussetzung:
    l15-20.gif (118 Byte)
    Induktionsbehauptung:
    l15-21.gif (183 Byte)
    Induktionsschritt:
    l15-22.gif (2052 Byte)
    q.e.d.

    Man könnte das Resultat auch damit begründen, dass, die Aufgabe, wie in der Grafik darstellt, immer ein Quadrat mit der Seitenlänge n ergibt. Die allgemeine Formel für die Fläche des Quadrates lautet A = a², also die gleiche Form, wie
    l15-20.gif (118 Byte)

Aufgabe 3:

Die Zahlen geben die Anzahl der verschiedenen Wege bis zu der betreffenden Stelle des Diagramms an.

Tabelle:

     1     
    1 1    
   1 2 1   
  1 3 3 1  
 1 4 6 4 1 
1 5 10 10 5 1
 6 15 20 15 6 
  21 35 35 21  
   56 70 56   
    126 126    
     252     

Oder:
Die Anzahl der Anordnungen wird durch

beschrieben.