Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9 und 10
März/Mai 2000

Aufgabe 1:

Seien G, H, J die Zahlen der Eier die die Kinder bekommen haben. Dann ist H=2G und J=4G. Die Gesamtzahl der Eier beträgt also 7G. Die einzige Zahl zwischen 50 und 60, die durch 7 teilbar ist, ist 56. Damit wissen wir: G=8, H=16, J=32.
Seien K, M, N die Gesamtzahlen der Eiersorten. Dann wissen wir, dass M = K + N und K = N. Somit ist M = 2 K.
Da M + K + N = 56 ist, ist 2K + K + K = 56, also K = 14 und M = 28.

Die bisherigen Ergebnisse werden zur Übersichtlichkeit in eine Tabelle eingetragen:

Wegen (1) kann die erste Zeile ausgefüllt werden (rot). Danach kann die 1. Spalte wegen (3) ausgefüllt werden (grün). Wegen (2) wird die letzte Spalte ausgefüllt (blau). Die fehlenden Werte lassen sich nun schnell ermitteln (lila).

Aufgabe 2:

Mit A, B, C und D sollen die Zahlen der Eier bezeichnet werden, die die einzelnen Kinder gefunden haben. Dann kann man die Informationen aus der Aufgabe so schreiben:
(1) C < B
(2) A + B < C + D
(3) C + B = A + D

Nimmt man (1) und (2) zusammen, erhält man: A + B + C < C + D + B. Nimmt man nun auf beiden Seiten C und B wieder weg, erhält man A < D (4).

Nimmt man (2) und (3) zusammen, erhält man: A + B + C + B < C + D + A + D. Nimmt man auf beiden Seiten A und C weg, erhält man B + B < D + D, also B < D (5).

Damit ist schon bekannt, dass Dirk die meisten Eier gefunden hat.

Nun nehmen wir (2) und (3) zusammen, allerdings so, dass zu den Eiern von C und B in (3) noch die Eier von C und D hinzugefügt werden und zu denen von A und D die Eier von A und B, bekommen wir C + B + C + D > A + D + A + B. Nehmen wir auf beiden Seiten die Eier von B und D weg, ergibt sich C > A (6).

Aus (5), (1) und (6) zusammen ergibt sich die Reihenfolge D > B > C > A.

Aufgabe 3:

Hoppel hat eine Strecke von 250 m bis zum Schnittpunkt der beiden Wege zurückzulegen. Bei seiner Geschwindigkeit braucht er dafür 250/8,5 s » 29,41 s.
Die Strecke von Moppel kann entweder aus einer maßstäblichen Zeichnung abgelesen werden oder mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden: . Bei seiner Geschwindigkeit braucht er dafür etwa 29,16 s.
Moppel kommt also etwa 0,25 s eher am Schnittpunkt der Wege an als Hoppel. In diesen 0,25 s bewegt sich Moppel um 2,5 m weiter. Damit stoßen die Hasen gerade nicht mehr zusammen, und das Osterfest ist gesichert.