Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9 und 10
November/Dezember 2000

Aufgabe 1:

1. In dem großen Würfel waren 64 kleine Würfel. Die Kantenlänge k beträgt also 4.
   k=3 ist nicht möglich, da eine Seitenfläche gefärbt sein muss, demnach max. 18 kleine Würfel nicht bunt sind.
   k=5 ist auch nicht möglich, da dann bereits mindestens 27 kleine Würfel nicht eingefärbt sein müssen.
   Andere Fälle scheiden aus.
   
2. Es müssen drei Seiten gefärbt sein, d.h. es sind 2·16 + 8 kleine Würfel einmal einseitig gefärbt und davon 8 zweiseitig. Wir verfügen also über 40 gefärbte Teilkörper, folglich sind 24 Würfelchen nicht eingefärbt.
   Die Anordnung der Seiten ist so beschaffen, dass 2 Seiten gegenüberliegen und ein Fläche als Verbindung dient. Die 3 Flächen können nicht in einem Punkt zusammentreffen.
   

Aufgabe 2:

Sind a,b,c die Ziffern der gesuchten Zahl, dann gilt:
Das Produkt c ·7 endet auf 8. Daher muss c = 4 sein. Wegen 4 · 7 =28 entsteht in der Zehnerstelle ein Übertrag von 2. Das Produkt von b · 7 endet also auf 3 – 2 = 1, somit ist b = 3 und da aus ähnlicher Argumentation a · 7 auf 6 – 2 = 4 endet, folgt a = 2.
Die gesuchte Zahl ist also 234.

Aufgabe 3:

1. Kein Buchstabe darf wiederholt werden?
   
   Es gibt 7·6·5·4 = 840 verschiedene Wörter.
   Für die Besetzung der ersten Stelle gibt es 7 Möglichkeiten, für die 2. Stelle 6 Möglichkeiten, usw.
   
2. Wiederholungen sind erlaubt?
   
   Es sind logischer Weise 7·7·7·7 =2401 Möglichkeiten.
   
3. Ein Wort besteht aus 2 Konsonanten und 2 Vokalen der gegebenen Buchstabenmenge.
   
   Bei 5 K und 2 V kann man zunächst zwischen 5K auswählen, danach noch zwischen 4 K.
   Die Vokale ergeben 2 und dann nur noch eine Möglichkeit.
   Es gibt nun 6 verschiedene Möglichkeiten, 2 Vokale und 2 Konsonanten in Folge anzuordnen:
   KKVV, KVKV, KVVK, VKKV, VKVK, VVKK
   Jede einzelne Kombination ergibt eine Anzahl von 40 Wörtern, z.B.:
   KKVV-5·4·2·1= 40
   
   6·40 = 240 Es ergeben sich also 240 Wörter.