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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 7 und 8
März/Mai 2001
Aufgabe 1:
Es ist einfacher , den Weg des Besuchers rückwärts
zu verfolgen.
Als er das 7. Tor passiert hatte, hatte er noch einen Apfel, daher
musste er zuvor noch (1+1)·2 = 4 Äpfel gehabt haben.
Diese tabellarische Übersicht mag das veranschaulichen:
- (1+1)·2 = 4
- (4 + 1)·2 = 10
- (10 + 1)·2 = 22
- (22 + 1)·2 = 46
- (46 + 1)·2 = 94
- (94 + 1)·2 = 190
- (190 + 1)·2 = 382
Der Besucher bekam 382 Äpfel.
Zu dieser Aufgabe erhielten wir die Überlegung eines Schülers:
Wie hat er die Äpfel getragen?!?
Aufgabe 2:
Diese Lösung ist von Heiko Adler vom Goethe Gymnasium in Emmendingen:
Er schrieb:
Als Maßstab galt mir ein Gitternetz mit dem Abstand 1cm:
Als erstens versuchte ich eine Figur zu finden, die 3 Außen- und keinen
Innenpunkt hat. Ich berechnete den Flächeninhalt dieser Figur und erhielt ½
qcm.
Nun suchte ich eine Figur, die wiederum 3 Außen- und keinen Innenpunkt hat, bei
der ich aber einen Außenpunkt so verschieben kann, dass kein zusätzlicher
Außen- oder Innenpunkt dazu kommt. Ich stellte fest, das bei jedem so
erhaltenem Dreieck der Flächeninhalt ½ qcm betrug.
Halte ich fest: Bei einer Figur mit 3 Außen- und keinem Innenpunkt beträgt der
Flächeninhalt ½ qcm.
Nun suchte ich eine Figur, die 3 Außenpunkte hat und bei der ich einen
Außenpunkt so verschieben kann, das je ein Innenpunkt hinzukommt. Ich rechnete
bei jeder so erhaltenen Figur den Flächeninhalt aus und schrieb es in eine
Tabelle:
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Außenpunkte |
Innenpunkte |
Flächeninhalt |
|
3 |
0 |
½ cm² |
|
3 |
1 |
1½ cm² |
|
3 |
2 |
2½ cm² |
|
3 |
3 |
3½ cm² |
|
3 |
4 |
4½ cm² |
|
3 |
5 |
5½ cm² |
Verdacht: pro Innenpunkt erhält die Figur 1 cm² dazu!
Jetzt versuchte ich eine Figur zu finden, die 4 Außen- und keinen Innenpunkt
hat. Ich berechnete den Flächeninhalt dieser Figur und erhielt nun 1 cm².
Nun suchte ich wie oben eine Figur, die 4 Außen- und keinen Innenpunkt hat, bei
der ich aber einen Außenpunkt so verschieben kann, dass kein zusätzlicher
Außen- oder Innenpunkt dazu kommt. Ich stellte fest, das bei jeder so
erhaltenem Figur der Flächeninhalt 1 cm² betrug.
Halte ich fest: Bei einer Figur mit 4 Außen- und keinem Innenpunkt ist der
Flächeninhalt 1 qcm.
Nun suchte ich eine Figur, die 4 Außenpunkte hat und bei der ich einen
Außenpunkt so verschieben kann, das je ein Innenpunkt hinzukommt. Ich rechnet
bei jeder so erhaltenen Figur den Flächeninhalt aus und schrieb es in eine neue
Tabelle:
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Außenpunkte |
Innenpunkte |
Flächeninhalt |
|
4 |
0 |
1 cm² |
|
4 |
1 |
2 cm² |
|
4 |
2 |
3 cm² |
|
4 |
3 |
4 cm² |
|
4 |
4 |
5 cm² |
|
4 |
5 |
6 cm² |
Auch hier bestätigt sich der Verdacht: pro Innenpunkt erhält die Figur 1
cm² dazu!
Zu guter Letzt versuchte ich eine Figur zu finden, die 5 Außen- und keinen
Innenpunkt hat. Ich berechnete den Flächeninhalt dieser Figur und erhielt 1½
cm².
Nun suchte ich erneut eine Figur, die 5 Außen- und keinen Innenpunkt hat, bei
der ich aber einen Außenpunkt so verschieben kann, dass kein zusätzlicher
Außen- oder Innenpunkt dazu kommt. Ich stellte fest, das bei jeder so
erhaltenem Figur der Flächeninhalt 1½ cm² betrug.
Halte ich fest: Bei einer Figur mit 5 Außen- und keinem Innenpunkt ist der
Flächeninhalt 1½ cm².
Nun suchte ich eine Figur, die 5 Außenpunkte hat und bei der ich einen
Außenpunkt so verschieben kann, das je ein Innenpunkt hinzukommt. Ich rechnet
bei jeder so erhaltenen Figur den Flächeninhalt aus und schrieb es in eine
Tabelle:
|
Außenpunkte |
Innenpunkte |
Flächeninhalt |
|
5 |
0 |
1½ cm² |
|
5 |
1 |
2½ cm² |
|
5 |
2 |
3½ cm² |
|
5 |
3 |
4½ cm² |
|
5 |
4 |
5½ cm² |
|
5 |
5 |
6½ cm² |
Nun ist es sicher: Pro Innenpunkt erhält die Figur 1 qcm dazu!
Wenn wir die Figuren, die keinen Innenpunkt haben, vergleichen so sehen wir, dass
pro Außenpunkt ½ qcm dazukommt
Wir erhalten die Formel:
R: Außenpunkte
I: Innenpunkte
A: Flächeninhalt
Weil eine Figur mindestens 3 Außenpunkte hat und somit der +½-Schritt erst bei
3 Außenpunkten beginnt muss ich (x 2) rechnen und das Ergebnis mit ½
multiplizieren. Nun muss ich nur noch die Innenpunkte addieren: +y
Aufgabe 3:
Die Anzahl der Personen in der oberen Etage wird mit x bezeichnet, die
mittlere Etage mit
y, die untere mit z. Die Aufgabe führt dann zu folgendem Gleichungssystem:
Auflösen ergibt:
Also wohnen oben 12 Leute, in der Mitte 30 und unten 18.
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