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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9 und 10
März/Mai 2001
Aufgabe 1:
Die beiden Zahlen kann man so schreiben:
Ihr Produkt ist dann:
Das Addieren des Einers der einen Zahl zur anderen Zahl ergibt folgenden Wert:
Eine Null anhängen bedeutet mit 10 multiplizieren:
Das Produkt der beiden Einer ist  ,
dieses Produkt wird jetzt addiert:
Das entspricht dem oben berechneten Produkt.
Das Verfahren funktioniert nicht bei Zahlen größer als 19. Hier müsste man
andere Verfahren entwickeln.
Aufgabe 2:
Der erste Teil der Lösung ist identisch mit der entsprechenden Aufgabe der
Stufe 7/8.
- siehe Stufe 7/8
- Feld A: 5 cm² ; Feld B: 19 cm²
- Hierzu hat Johannes Reim folgende nette Überlegung gezeigt:
Im folgenden bezeichnet er Randpunkte mit R und Innenpunkte mit I.
Ein Quadrat der Länge 1hat nur 4R, so geht er davon aus, dass 4R=1cm² ist.
Nun betrachtet er ein Rechteck der Länge 2 und Breite 1:
Es enthält bei 6 R und 2 I einen Flächeninhalt von 2cm².
Er schließt, dass (R-2) / 2 die cm² ergeben.
Zur Bestimmung von I betrachtet er ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 mit 8R
und 1I.
Nach oben genannter Formel wären es 3cm², fehlt nur noch 1cm², das ist I.
1I entspricht 1cm²
Die Formel zur Bestimmung des Flächeninhaltes A ist somit:
Er überprüft dies durch weitere Vielecke:
1. 3*1 entsprechen 8 R und 0 I, somit 3cm²
2. 4*1 entsprechen 10 R und 0 I, somit 4cm²
3. 5*1 entsprechen 8 R und 0 I, somit 5cm²
Man sieht also: Wenn man zwei R hinzufügt, kommt 1cm² hinzu.
4. 2*2 entsprechen 8 R und 1 I, somit 4cm²
5. 2*3 entsprechen 10 R und 1 I, somit 6cm²
6. 2*4 entsprechen 12 R und 1 I, somit 8cm²
Wenn man 1I hinzufügt wird die Fläche um 1cm² größer.
- Bei Vielecken mit Löchern bestimmt man den gesamten Flächeninhalt und
subtrahiert anschließend den Flächeninhalt der Löcher.
Die Formel lässt sich dann auch verändern:
Randpunkte (R), Innenpunkte (I), Löcher (L),
Randpunkte der Löcher (LR), Innenpunkte der Löcher (LI)
Das hier gezeigte Vieleck hat also einen Flächeninhalt von 49 ( cm² ).
Aufgabe 3:
Die beiden Seiten seien x und y. Es gilt also  .
Der Flächeninhalt ist dann
Für x = 6 liegt ein globales Maximum vor, S ist der Hochpunkt der quadratischen
Funktion.
Die Seiten des Rechtecks haben also alle die Länge 6 cm.
Das Quadrat hat den Umfang U = 24 cm und den Flächeninhalt A = 36 cm².
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