Januar/Februar 2002

1. Groß und Klein
   
   Bilde eine beliebige vierstellige Zahl Z₁, die aus vier verschiedenen Ziffern besteht.
   Ordne ihre Ziffern und bilde so die größte und kleinste Zahl. Bilde von diesen beiden Zahlen die Differenz und nenne das Ergebnis Z₂  
   Beginne nun von vorne und wiederhole den Vorgang auf gleiche Weise beliebig oft.
   
   
   1. Was fällt dir auf?
   2. Verändere die Anfangszahl.
   3. Was beobachtest du bei zwei-, drei- oder fünfstelligen Anfangszahlen?
      
      
2. Im Rahmen der Euroumstellung werden viele Münzen eingeschmolzen und neue geprägt. Dabei werden auch Legierungen verändert.
   Angenommen, 30 kg einer alten Legierung enthalten 70 % Kupfer.
   Wie viele kg reines Kupfer müssen wir dieser Legierung noch hinzufügen, damit sie 90 % Kupfer enthält?
   
3. Die Schneeflocke
   
   Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 1 wird durch folgendes Konstruktionsprinzip verändert:
   Jede Strecke wird gedrittelt und über dem mittleren Stück wird ein kleineres, gleichseitiges Dreieck aufgesetzt ( siehe Grafik ).
   Offenbar wachsen nun Flächeninhalt und Umfang der sich mit jedem Schritt weiter entwickelnden „Schneeflocke“.
   Bestimme den Flächeninhalt und den Umfang nach drei Schritten!
   
   

März/Mai 2002

1. Leonardo Fibonacci (auch bekannt als Leonardo Pisano) lebte von 1170 bis 1240.
   Er lernte auf Reisen nach Nordafrika indische und arabische Mathematik kennen, studierte sie gründlich und schrieb selbst Bücher u.a. über die Vorteile des Rechnens mit arabischen Zahlen. Dabei verwendete er die Ziffern der Araber:

Die abgebildete Münze (Kuwait "50 Fils") zeigt zwei Jahreszahlen der Münzprägung:
(A.D.=Anno Domini=im Jahre des Herrn)
(A.H.=Anno Hegirae [Hedschra])

1. Übersetze diese Zahlen in die europäische Zahlenschreibweise.
   
2. Die arabischen Staaten verwenden den (Mond-)Kalender seit 622 A.D., dem Jahr der Flucht Mohammeds von Mekka nach Medina. Die Differenz der Zahlen beträgt nicht 622, weil die Jahreslängen unterschiedlich sind. Kläre diesen Sachverhalt und den mathematischen Hintergrund auf!
   
   
   
   
   

2. Hier ein paar Fragen zum Kalender der vom "christlichen Abendland" ausgehend weltweite Verwendung fand:
   
   1. Was geschah am - 1.1.0000 A.D. in Bethlehem,
      15.März 44 v.Chr. in Rom,
      10.10.1582 in Berlin ?
      
   2. Wer begründete den Vorläufer dieses über anderthalb Jahrtausende gültigen Kalenders?
      
   3. Wer führte wann und warum welche Verbesserungen für den heute geltenden Kalender ein?
      
   4. Warum wurde der Jahrestag der russischen Oktoberrevolution von 1917 in der damaligen Sowjetunion 1987 im November gefeiert?
      
      
3. Die neue Währung Euro (in acht Münzen zu 1, 2, 5, 10, 20 und 50 Cent ,1 € und 2 €) wirft die folgenden Fragen auf:
   
   1. Wie viel Prozent der Beträge von 0,01 € bis 1,00 € lassen sich nicht mit bis zu drei Münzen bezahlen, wenn du sie abgezählt übergibst ?
      
   2. Wie viel Prozent der Beträge von 0,01 € bis 1,00 € lassen sich nicht mit bis zu drei Münzen bezahlen, wenn einschließlich Wechselgeld höchstens drei Münzen verwendet werden sollen?
      

Juni/August 2002

1. Jeder Buchstabe muss durch eine Ziffer ersetzt werden. Unterschiedliche Buchstaben werden durch unterschiedliche Ziffern ersetzt.

  S O N N E
+ S T R A N D
____________
  F E R I E N

Ermittle alle Lösungen!

2. Felix, Tim, Svenja und Eva verschlüsseln ihr gemeinsames Urlaubsziel in den folgenden Botschaften:

Felix 

• Wir fahren weder in den Schwarzwald noch an die Nordsee.
• Das Ferienziel ist entweder der Schwarzwald oder Südfrankreichs Mittelmeerküste.
• Wir reisen in die Toskana.

Tim

• Wenn wir nicht nach Paris fahren, fahren wir an die Ostsee.
• Felix macht eine falsche Aussage, wenn er sagt wir fahren in die Toskana.
• Wir reisen an Südfrankreichs Mittelmeerküste.

Svenja

• Wir reisen entweder in die Toskana oder an Südfrankreichs Mittelmeerküste.
• Wir fahren in den Schwarzwald.
• Wir verbringen unsere Ferien entweder an Südfrankreichs Mittelmeerküste oder in der Toskana oder an der Ostsee.

Eva

• Wir reisen zu dem Ziel, das auf meinem Sweat Shirt steht
• Wenn wir nach Paris fahren, fahren wir nicht in die Toskana.
• Unser Ferienziel liegt in der Toskana und an Südfrankreichs Mittelmeerküste.

1. Ermittle das Ferienziel dieser vier Jugendlichen für die folgenden beiden Fälle.
2. Untersuche für beide Fälle, ob allein mit den vorliegenden Angaben das Motiv auf Eva`s Pullover bestimmt werden kann. Wenn ja, gebe diese Farbe an.
   Fall I: Von den drei Aussagen jeder der vier beteiligten Jugendlichen sind genau zwei wahr.
   Fall II: Von den drei Aussagen jeder der vier Jugendlichen sind genau zwei falsch.

3. Zeige, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks ABC mit folgender Formel bestimmt werden kann:

U: Umfang des Dreiecks, r: Inkreisradius

September/Oktober 2002

1. Stell dir vor, du hast von deiner Großmutter eine Wiese geerbt, die genau halbkreisförmig ist. Außerdem hast du eine Kuh (ein Schaf, egal was, Hauptsache, das Tier grast), drei Pflöcke, einen Ring, eine Schere und ein langes Seil geerbt.
   Das Tier soll (natürlich!) die Wiese abgrasen. Die ganze Wiese und nichts als die Wiese. Und natürlich kannst du nicht die ganze Zeit aufpassen, dass es nicht aufs Nachbargrundstück geht.
   Kannst du die Pflöcke so einschlagen und dein Tier so anleinen, dass es genau die halbkreisförmige Wiese, nicht mehr und nicht weniger, abgrasen kann.
   
   
2. Palindrome Zahlen
   
   Das Jahr 2002 stellt eine palindromische Zahl dar. Unter einem Palindrom versteht man gewöhnlich ein Wort, das du von vorne nach hinten oder umgekehrt lesen kannst. Dabei bleibt der Inhalt gleich.
   Beispiele gibt es in großer Anzahl: ANNA, UTE, OMO, OTTO, i ( lateinisch: geh), usw.
   Nun lässt sich diese Eigenschaft auch auf Zahlen übertragen, z. B.:
   1234321; 7; 121; 2002, ...

1. Wie viele Palindrome gibt es?
2. Gibt es in diesem Jahrhundert noch eine palindrome Jahreszahl?
3. Gibt es in diesem Jahr ein palindromisches Datum?
4. Wie viele Palindrome gibt es unter 10.000?
   1. Welche sind davon prim?
   2. Gibt es vierstellige palindrome Primzahlen? (Begründe!)
5. Wie viele Palindrome gibt es unter 1.000.000?
6. Finde alle palindromischen Zahlen unter 1.000.000, deren Quadratwurzel ebenfalls ein Palindrom ist.
   

3. Zwei kongruente Quadrate mit der Seitenlänge s= 4 cm überlappen sich. Dabei ist der Mittelpunkt des einen Quadrates ein Eckpunkt des anderen Vierecks. Um diesen Punkt kann das äußere Quadrat gedreht werden, so dass sich ständig anders geformte Überlappungsflächen ergeben. Bestimme die Größe der Schnittfläche (EMDN)! Welches ist der größte ( kleinste) Wert, den diese Überlappungsfläche annehmen kann?
   
   

November/Dezember 2002

1. Der Weihnachtsmann kommt
   
   Ein Weihnachtsmann geht von Himmelspforte in Richtung Christkindldorf mit einer Geschwindigkeit von 4 km/h. Die beiden Orte sind 12 km voneinander entfernt. Nach einer gewissen Zeit bricht von Himmelspforte aus ein zweiter Weihnachtsmann (einer allein kann es unmöglich schaffen) auf, wiederum nach derselben Zeitspanne ein dritter. Der dritte Weihnachtsmann holt den zweiten auf halben Wege zwischen Himmelspforte Christkindldorf ein. Von da an gehen beide gemeinsam weiter und zwar mit der Geschwindigkeit, die gleich dem arithmetischen Mittel ihrer beider bisherigen Geschwindigkeiten ist. Alle drei kommen gleichzeitig in Christkindldorf an.
   
   1. Mit welcher Geschwindigkeit bewegte sich der zweite Weihnachtsmann ursprünglich,
      wenn der dritte anfänglich mit 6 km/h lief?
      
   2. Welchen prozentualen Anteil des Gesamtweges hat der erste Weihnachtsmann zu dem
      Zeitpunkt zurückgelegt, in dem der zweite Weihnachtsmann von Himmelspforte aus
      aufbrach?
      
      
2. Auf dem Weihnachtsmarkt
   
   Auf dem Weihnachtsmarkt willst du eine eigene Nussmischung verkaufen. Im Großhandel kannst du zwei Sorten gemischter Nüsse bekommen:
   Mischung 1 enthält je Kilogramm 0,1 kg Walnüsse, 0,2 kg Mandeln und 0,1 kg Haselnüsse;
   Mischung 2 enthält je Kilogramm 0,2 kg Walnüsse, 0,2 kg Mandeln und 0,6 kg Haselnüsse. Der Rest einer jeden Mischung besteht aus Erdnüssen. Mischung 1 kostet 8 € pro kg, Mischung 2 12 € pro kg im Einkauf.
   Deine eigene Mischung (aus 1 und 2 gemischt) soll insgesamt mindestens 1 kg Walnüsse,
   0,8 kg Mandeln und 1,8 kg Haselnüsse enthalten.
   Wie viel kg jeder Mischung musst du einkaufen, damit die Herstellungskosten für die neue Mischung minimal werden?
   Was kostet ein Kilogramm dieser Mischung im Einkauf?
   
   
3. Weihnachtsbäckerei
   
   Mutter bäckt Dresdner Christstollen. Dazu benötigt sie auch einen Würfel Margarine. Die Mutter betrachtet den Würfel Margarine und fragt ihren Sohn, der ihr beim Backen zuschaut:
   " Kann man durch den Würfel Margarine einen ebenen Schnitt so führen, dass als Schnittfigur ein
   a) gleichseitiges Dreieck,
   b) Quadrat,
   c) regelmäßiges Fünfeck,
   d) regelmäßiges Sechseck,
   entsteht?"
   Begründe deine Entscheidungen! Gibt es mehrere Möglichkeiten?
   Berechne falls möglich die Schnittfläche(n) für a) und b) (Kantenlänge des Würfels ist 7cm).
   

Viel Spaß beim Lösen wünscht der Mathe-Treff der Bezirksregierung Düsseldorf!
http://www.mathetreff.de

Die Lösungen finden sich im Knobel-Archiv.