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Januar/Februar 2002

  1. Groß und Klein

    Bilde eine beliebige vierstellige Zahl Z1, die aus vier verschiedenen Ziffern besteht.
    Ordne ihre Ziffern und bilde so die größte und kleinste Zahl. Bilde von diesen beiden Zahlen die Differenz und nenne das Ergebnis Z2  
    Beginne nun von vorne und wiederhole den Vorgang auf gleiche Weise beliebig oft.

    1. Was fällt Ihnen auf?
    2. Verändern Sie die Anfangszahl.
    3. Begründen Sie Ihre Beobachtungen aus a und b!
    4. Welche Algorithmen ergeben sich bei drei- oder fünfstelligen Anfangszahlen?
  2. Robin Hood versteckt sich 50 Fuß über dem Boden auf der Stadtmauer. Er würde den Sheriff von Nottingham, der 100 Fuß von der Mauer entfernt ist, mit einem Pfeil 5 Fuß über der Erde genau ins Herz treffen.
    1. Welche Höhe würde der Pfeil erreichen, wenn er einem Pfad der Art
      h = - 16 t2 + 32t + 50
      folgt, wobei t die Zeit und h die Höhe in Fuß angeben.
    2. Wie viel Zeit bliebe dem Sheriff, dem nahenden Pfeil auszuweichen? Es soll ja schließlich kein Blut fließen!

  3. Die Schneeflocke

    Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 1 wird durch folgendes Konstruktionsprinzip verändert:
    Jede Strecke wird gedrittelt und über dem mittleren Stück wird ein kleineres, gleichseitiges Dreieck aufgesetzt ( siehe Grafik ).
    Offenbar wachsen nun Flächeninhalt und Umfang der sich mit jedem Schritt weiter entwickelnden „Schneeflocke“.

    1. Bestimme den Flächeninhalt und den Umfang nach drei Schritten!
    2. Welchen Flächeninhalt erhalten Sie, man diesen Prozess unendlich oft fortsetzt?
    3. Wie entwickelt sich der Umfange der Figur?
    4. Wie heißt eine sich solchermaßen entwickelnde Figur?

März/Mai 2002

  1. Leonardo Fibonacci (auch bekannt als Leonardo Pisano) lebte von 1170 bis 1240.
    Er lernte auf Reisen nach Nordafrika indische und arabische Mathematik kennen, studierte sie gründlich und schrieb selbst Bücher u.a. über die Vorteile des Rechnens mit arabischen Zahlen. Dabei verwendete er die Ziffern der Araber:

Arabisch

Europäisch-arab.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9


Die abgebildete Münze (Kuwait "50 Fils") zeigt zwei Jahreszahlen der Münzprägung:
(A.D.=Anno Domini=im Jahre des Herrn)
(A.H.=Anno Hegirae [Hedschra])
  1. Übersetze diese Zahlen in die europäische Zahlenschreibweise.
  2. Die arabischen Staaten verwenden den (Mond-)Kalender seit 622 A.D., dem Jahr der Flucht Mohammeds von Mekka nach Medina. Die Differenz der Zahlen beträgt nicht 622, weil die Jahreslängen unterschiedlich sind. Kläre diesen Sachverhalt und den mathematischen Hintergrund auf!




Hier ein paar Fragen zum Kalender der vom "christlichen Abendland" ausgehend weltweite Verwendung fand:
  1. Was geschah am - 1.1.0000 A.D. in Bethlehem,
    15.März 44 v.Chr. in Rom,
    10.10.1582 in Berlin ?
  2. Wer begründete den Vorläufer dieses über anderthalb Jahrtausende gültigen Kalenders?
  3. Wer führte wann und warum welche Verbesserungen für den heute geltenden Kalender ein?
  4. Warum wurde der Jahrestag der russischen Oktoberrevolution von 1917 in der damaligen Sowjetunion 1987 im November gefeiert?

  1. Die neue Währung Euro (in acht Münzen zu 1, 2, 5, 10, 20 und 50 Cent ,1 € und 2 €) wirft die folgenden Fragen auf:
  1. Wie viel Prozent der Beträge von 0,01 € bis 1,00 € lassen sich nicht mit bis zu drei Münzen bezahlen, wenn einschließlich Wechselgeld höchstens drei Münzen verwendet werden sollen?
  2. Griechenland hat mit Einführung des Euro eine nahezu 2000 Jahre alte Währung (Drachmen) aufgegeben. Hätte Archimedes (285-212 v.Chr.) im Jahre 221 v.Chr. in Syrakus 100 Drachmen (Wert von 2001) zu 2% Zinssatz anlegen können, welchen Wert hätte dieses Kapital im Jahre 2001 unter Berücksichtigung von Zinseszins erreicht ? Vergleichen Sie dieses Kapital mit Euro- oder Goldwert.
  1. Weisen Sie nach, dass die "Sichel des Archimedes" , die durch drei Halbkreisbögen begrenzt wird, denselben Flächeninhalt hat wie der Kreis über dem Abschnitt der (zum großen Durchmesser orthogonalen) gemeinsamen Tangente der kleineren Halbkreise.

Juni/August 2002

  1. Jeder Buchstabe muss durch eine Ziffer ersetzt werden. Unterschiedliche Buchstaben werden durch unterschiedliche Ziffern ersetzt.
  S O N N E
+ S T R A N D
____________
  F E R I E N

Ermittle alle Lösungen!



  1. Auf dem Unterbacher See treffen sich 5 Freundinnen zum Segeln. Sie sitzen vor der Abfahrt am Strand in einer Reihe nebeneinander. Jeder von ihnen will genau eins der folgenden Studienfächer belegen: Mathematik, Informatik, Physik, Biotechnologie und Maschinenbau und jeder von ihnen kommt aus genau einer der folgenden Städte: Düsseldorf, Wuppertal, Köln, Aachen und Essen. Sie sind 16, 17, 18, 19 und 20 Jahre alt. Jeder von ihnen betreibt genau eine Sportart: Surfen, Schwimmen, Volleyball, Badminton und Wasserski. Jeder von ihnen hat als Reiseziel für die Sommerferien genau eine der folgenden Inseln: Korsika, Jersey, Malta, Kreta und Teneriffa.
    Aus den Gesprächen der Freundinnen entnehmen wir folgende Angaben:
    1. Diejenige, die Maschinenbau studieren möchte, sitzt ganz links.
    2. Die Volleyballspielerin hat den mittleren Platz.
    3. Die Düsseldorferin möchte Mathematik studieren.
    4.  Diejenige, die Informatik studieren möchte, ist 16 Jahre alt.
    5. Die zukünftige Physikstudentin schwimmt gern.
    6. Die zukünftige Biotechnologiestudentin reist nach Teneriffa.
    7. Die Surferin kommt aus Wuppertal.
    8. Das Mädchen aus Essen wird ihren Urlaub auf der Insel Jersey verbringen.
    9. Das nach Korsika reisende Mädchen ist 18 Jahre alt.
    10. Die Badmintonspielerin fährt nach Kreta.
    11. Das Mädchen aus Wuppertal sitzt neben dem aus Köln.
    12. Die 20jährige sitzt neben der, die nach Malta fliegt.
    13. Die 17jährige sitzt neben der, die nach Jersey reist.
    14. Das Mädchen, welches Maschinenbau studieren möchte, sitzt neben dem Mädchen aus Aachen.

     

    1. Aus welcher Stadt kommt die Wasserskiläuferin?
    2. Wie alt ist die zukünftige Biotechnologiestudentin?
  1. Die Anzahl der Diagonalen eines konvexen n- Ecks sind abhängig von der Anzahl der Ecken n.
    1. Bestimme die Anzahl der Diagonalen für n = 3, 4, 5, 6, 8, 13, n.
    2. Bei welchen konvexen n - Ecken ist die Anzahl der Diagonalen eine Primzahl?

September/Oktober 2002

  1. Palindrome Zahlen

    Das Jahr 2002 stellt eine palindromische Zahl dar. Unter einem Palindrom versteht man gewöhnlich ein Wort, das du von vorne nach hinten oder umgekehrt lesen kannst. Dabei bleibt der Inhalt gleich.
    Beispiele gibt es in großer Anzahl: ANNA, UTE, OMO, OTTO, i ( lateinisch: geh), usw.
    Nun lässt sich diese Eigenschaft auch auf Zahlen übertragen, z. B.:
    1234321; 7; 121; 2002, ...
    1. Wie viele Palindrome gibt es?
    2. Gibt es in diesem Jahrhundert noch eine palindrome Jahreszahl?
    3. Gibt es in diesem Jahr ein palindromisches Datum?
    4. Wie viele Palindrome gibt es unter 10.000?
      1. Welche sind davon prim?
      2. Gibt es vierstellige palindrome Primzahlen? (Begründe!)
    5. Wie viele Palindrome gibt es unter 1.000.000?
    6. Finde alle palindromischen Zahlen unter 1.000.000, deren Quadratwurzel ebenfalls ein Palindrom ist.
  2. Kreise und Quadrate

    Untersuchen Sie, ob es möglich ist, einem Quadrat mit der Seitenlänge 4 (8) mehr
    als 16 ( 64) Kreise mit einem Durchmesser der Länge 1 so einzufügen, dass kein Punkt eines Kreises außerhalb des Quadrates liegt und dass sich nicht zwei oder mehr Kreise überschneiden.

  3. Ein Junge steht auf einem Leuchtturm am Ostseestrand. Angenommen, er lässt seinen Ball von der Brüstung in 30m Höhe fallen, es ist windstill, der Ball wird nicht beschleunigt und es treffen auch keine anderen Faktoren ein, die die Aufgabe kritisch beeinflussen. Stellen Sie sich einfach vor, es ist schönes Wetter und der Ball springt 50% der vorherigen Fallhöhe wieder auf.
    1. Welche Höhe erreicht der Ball beim 5. Aufspringen?
    2. Welche Wegstrecke legt der Ball bis zum 5. Auftippen (20. Auftippen) zurück?
    3. Wie lang ist die maximale Wegstrecke, die der Ball theoretisch zurücklegt?

November/Dezember 2002

  1. Der Weihnachtsmann kommt

    Ein Weihnachtsmann geht von Himmelspforte in Richtung Christkindldorf mit einer Geschwindigkeit von 4 km/h. Nach einer gewissen Zeit bricht von Himmelspforte aus ein zweiter Weihnachtsmann (einer allein kann es unmöglich schaffen) auf, wiederum nach derselben Zeitspanne ein dritter. Der dritte Weihnachtsmann holt den zweiten auf halben Wege zwischen Himmelspforte Christkindldorf ein. Von da an gehen beide gemeinsam weiter und zwar mit der Geschwindigkeit, die gleich dem arithmetischen Mittel ihrer beider bisherigen Geschwindigkeiten ist. Alle drei kommen gleichzeitig in Christkindldorf an.
    1. Mit welcher Geschwindigkeit bewegte sich der zweite Weihnachtsmann ursprünglich,
      wenn der dritte anfänglich mit 6 km/h lief?
    2. Welchen prozentualen Anteil des Gesamtweges hat der erste Weihnachtsmann zu dem
      Zeitpunkt zurückgelegt, in dem der zweite Weihnachtsmann von Himmelspforte aus
      aufbrach? Welchen Anteil des Gesamtweges hat der erste Weihnachtsmann zu dem
      Zeitpunkt zurückgelegt, in dem der dritte Weihnachtsmann von Himmelspforte aus
      aufbrach?

  2. Auf dem Weihnachtsmarkt

    Auf dem Weihnachtsmarkt wollen Sie eine eigene Nussmischung verkaufen. Im Großhandel können Sie zwei Sorten gemischter Nüsse bekommen:
    Mischung 1 enthält je Kilogramm 0,1 kg Walnüsse, 0,2 kg Mandeln und 0,1 kg Haselnüsse;
    Mischung 2 enthält je Kilogramm 0,2 kg Walnüsse, 0,2 kg Mandeln und 0,6 kg Haselnüsse. Der Rest einer jeden Mischung besteht aus Erdnüssen. Mischung 1 kostet 8 € pro kg, Mischung 2 12 € pro kg im Einkauf.
    Ihre eigene Mischung (aus 1 und 2 gemischt) soll insgesamt mindestens 1 kg Walnüsse, 0,8 kg Mandeln und 1,8 kg Haselnüsse enthalten.
    Wie viel kg jeder Mischung müssen Sie einkaufen, damit die Herstellungskosten für die neue Mischung minimal werden?
    Was kostet ein Kilogramm dieser Mischung im Einkauf?

  3. Weihnachtsbäckerei

    Mutter bäckt Dresdner Christstollen. Dazu benötigt sie auch einen Würfel Margarine. Die Mutter betrachtet den Würfel Margarine und fragt ihren Sohn, der ihr beim Backen zuschaut:
    " Kann man durch den Würfel Margarine einen ebenen Schnitt so führen, dass als Schnittfigur ein
    a) gleichseitiges Dreieck,
    b) Quadrat,
    c) regelmäßiges Fünfeck,
    d) regelmäßiges Sechseck,
    entsteht?"

    Begründen Sie Ihre Entscheidungen! Gibt es mehrere Möglichkeiten?
    Berechnen Sie falls möglich die Schnittfläche(n) für a) bis d) (Die Kantenlänge des Würfels ist a cm.).

Viel Spaß beim Lösen wünscht der Mathe-Treff der Bezirksregierung Düsseldorf!
http://www.mathetreff.de

Die Lösungen finden sich im Knobel-Archiv.