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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9 und 10
Januar/Februar 2002
Aufgabe 1:
Die Subtraktionen führen auf eine oder mehrere Endzahlen.
- Vierstellige Zahlen führen auf die Kaprekarsche Zahl 6174.
Beispiel: 7532, 5175, 5994, 5355, 1998, 8084, 8352, 6174.
- Siehe: a
- Für zweistellige Zahlen, z.B. für die Anfangszahl 84, ergibt sich ein
Kreis mit immer wiederkehrenden Zahlen, wobei hier die größeren Zahlen
aufgeführt sind
84 -> 63, 72, 54, 90, 81, 63, 72, 54, 90, 81, 63, usw
Bei dreistelligen Zahlen entsteht ein geradliniger Baum mit der Endzahl 495.
Für die Zahl 351 ergibt sich: 351, 396, 594, 495
Bei fünfstelligen Zahlen endet der Algorithmus in einem der drei Zyklen:
- 99954 <-> 95553
- 97731, 98532, 97443, 96642, ...
- 97641, 98622, 97533, 96543, ...
Aufgabe 2:
Zur Beantwortung bemerken wir zunächst, dass in der Legierung 21 kg Kupfer
enthalten sind. Ein Fehler wäre es, der Mischung 6 kg Kupfer hinzuzufügen, um
27 kg des Metalls zu erhalten.
Das Gewicht der Legierung nimmt vielmehr um x kg zu, so dass lediglich die
folgende Gleichung zu lösen ist:
Der Legierung sind also 60 kg Kupfer hinzuzufügen, die neue Schmelze wiegt 90
kg.
Aufgabe 3:
- Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks beträgt
. Jedes hinzugefügte Dreieck beträgt
vom Flächeninhalt des großen Dreiecks und die ersten drei kleineren
Dreiecke haben eine Fläche von einem Drittel der ursprünglichen Fläche. Jede
neue Iteration formt 4mal so viele Dreiecke hinzu wie beim Schritt davor, d.h.
es wird nach jeder Erweiterung eine Fläche von
der letzten Vergrößerung hinzugefügt. Für die ersten drei Schritte
ergibt sich somit folgendes Procedere:
- Der Umfang
wächst immer um ein Drittel des letzten Wachstums, also:
Der Umfang wächst exponentiell.
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