Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9 und 10
Juni/August 2002

Aufgabe 1:

Da O + R = R bzw. O + R + 1 = R + 10, muss = O 9 oder 0 sein. Es kann auch kein größerer Übertrag auftreten, da nur jeweils zwei verschiedene Ziffern addiert werden.
Begründung:
Wenn O = 0, dann ist S + T = E + 10 (Der Übertrag von 10 muss hier sein, weil S verschieden F ist (nach Aufgabenstellung. Es muss also gelten S + 1 = F.).
Wenn O = 9 ist, dann ist S + T +1 = E + 10.
Da N + N = E und E + D = E muss ein Übertrag bei E + D = E auftreten, also E + D = 10 + E oder es tritt ein Übertrag bei N + N = E auf.
Sinnvoller weise beginnt man das Ausprobieren mit N, wobei 0 und 9 wegfallen und erhält dann folgende zwei Lösungen:

Aufgabe 2:

Uns ist leider ein Schreibfehler unterlaufen, der aber für die Lösung der Aufgabe Fall I unerheblich ist. Für Fall II wird die Lösung ohne den Schreibfehler angegeben.
In der 3. Aussage von Svenja muss ein Reiseziel NORDSEE und NICHT OSTSEE lauten.

Fall I:
Angenommen, die 3. Aussage von Svenja wäre falsch. Dann wäre auch die 1. Aussage von Svenja falsch, und es gäbe im Widerspruch zu den Bedingungen der Aufgabe höchstens eine wahre Aussage von Svenja. Also kann nur die 3. Aussage von Svenja wahr sein.
Daher muss die 2. Aussage von Svenja falsch sein, also laut Aufgabenstellung die 1. Aussage von Svenja wahr sein. Das Urlaubsziel kann deshalb nur die Toskana oder die Mittelmeerküste von Südfrankreich sein. Dann ist die 1. Aussage von Tim falsch, demnach muss die 3. Aussage von Tim wahr sein. Das Urlaubsziel kann also nur die Mittelmehrküste von Südfrankreichs sein. Die 3. Aussage von Eva ist falsch, da nur ein Ferienziel angesteuert wird. Also ist die 1. Aussage von Eva wahr. Das Reiseziel kann deshalb nur die Mittelmeerküste von Südfrankreich sein.

Fall II
Angenommen, die 1. Aussage von Svenja wäre wahr. Dann wäre auch die 3. Aussage von Svenja wahr, im Widerspruch zu den Bedingungen der Aufgabe. Also kann die 1. Aussage von Svenja nur falsch sein. Angenommen, die 3. Aussage von Svenja wäre wahr, dann wäre das Urlaubsziel das Urlaubsziel die Nordsee, also alle Aussagen von Felix falsch, was im Widerspruch zu den Bedingungen der Aufgabe ist. Also kann auch die 3. Aussage von Svenja nur falsch und folglich die 2. Aussage von Svenja nur wahr sein. Das Urlaubsziel kann daher nur der Schwarzwald sein. Daher müssen die 1. und die 3. Aussage von Tim falsch sein.

Andererseits ist die 2. Aussage von Eva unabhängig von allen Bedingungen stets wahr, also ist laut Aufgabenstellung die 1. Aussage von Eva falsch. Das Motiv von Evas Pullover lässt sich allein mit Hilfe der gemachten Aussagen nicht ermitteln. Es steht nur fest, dass das Reiseziel nicht der Schwarzwald ist.

Aufgabe 3:

Es gilt: M ist der Mittelpunkt des Inkreises, d.h. stehen senkrecht auf den Seiten c, a bzw. b und weiterhin gilt für den Radius des Inkreises r:
Für den Flächeninhalt des Dreiecks AMB gilt: entsprechend gilt für das Dreieck AMC bzw. für das Dreieck BMC .
Die drei Teildreiecke ergeben zusammenaddiert den gesamten Flächeninhalt des Dreiecks ABC, d.h.

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