Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9 und 10
September/Oktober 2002

Aufgabe 1:

Die eine Hälfte hast du bestimmt sofort gewusst: Du steckst einen Pflock beim Mittelpunkt des Halb­kreises ein und bindest das Tier mit einem Seil mit entsprechender Länge daran fest. Dann kann es jedenfalls an der runden Seite nicht über den Halbkreis hinaus. Auf der geraden Seite hat es aber noch viel Auslauf. Wie kannst du das verhindern? Dazu musst du über den Halbkreis hinausdenken. Du musst dir ein Rechteck denken, in das der Halbkreis genau hineinpasst. An den beiden neuen Ecken (auf dem Grundstück des freundlichen Nachbarn) schlägst du je einen Pfosten ein und verbindest die beiden durch ein straff gespanntes Seil. Bevor du dieses Seil an den Pfosten befestigst, gibst du den Ring auf das Seil. An diesem Ring befestigst du jetzt noch ein Seil, das so lang ist wie der Radius des Halbkreises und machst am anderen Ende dein Tier fest.

Aufgabe 2:

a)

Es gibt unendlich viele palindrome Zahlen.

b)

Es gibt in diesem Jahrhundert keine palindrome Jahreszahl mehr,  weil die Null an der zweiten Stelle stehen bleiben muss.

c)

Es gibt in diesem Jahr ein palindromes Datum: den 20.02.2002
oder unter Berücksichtigung der Uhrzeit: den 11.11.2002 11.11 Uhr

d)

Unter 10.000 gibt es 9 einstellige, 9 zweistellige, jeweils 90 drei- und vierstellige palindrome Zahlen.

1. Davon sind prim:
   151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929
2. Es gibt keine vierstelligen palindromen Primzahlen, weil alle mindestens die 11 als Teiler besitzen.

e)

Da es 900 fünf- bzw. sechsstellige Palindrome gibt, erhalten wir 1998 gesuchte Zahlen unter 1.000.000.

f)

Palindrome Zahlen unter 1.000.000, deren Quadratwurzel ebenfalls ein Palindrom ist:

Hier findet man durch Suchen und Ausprobieren folgende Zahlen:

Aufgabe 3:

Die Schnittfläche beider Quadrate macht ¼ der Fläche eines Vierecks aus.

Der Flächeninhalt des gelben (und auch des blauen Quadrates) ist A = 16 cm². Da E gleichzeitig der Mittelpunkt des gelben Quadrates ist, kann man das blaue Quadrat nur um diesen Punkt E drehen. Die Punkte P und R können also nur auf einer Kreisfläche (mit dem Radius 4 cm) um E drehen. Dreht man nun das blaue Quadrat nach rechts, so dass R in der Verlängerung von D zu liegen kommt, erhält man im gelben Dreieck als Überlappung ein gleichschenkliges Dreieck mit  A = 4 cm² (also ein Viertel des gelben Quadrates).

Nach dem Kongruenzsatz bei Dreiecken gilt sss; auf unser Beispiel angewendet heißt das END = EMC. D.h. egal nach welcher Seite man im Halbkreis das blaue Quadrat auch dreht, es hat immer den Flächeninhalt A = 4 cm².
Es gibt also gar keine größte oder kleinste Schnittfläche, sondern immer nur die Schnittfläche
A = 4 cm².