Mathe-Treff: Knobel-Aufgaben für die Klassen 9 und 10
September/Oktober 2002

1. Stell dir vor, du hast von deiner Großmutter eine Wiese geerbt, die genau halbkreisförmig ist. Außerdem hast du eine Kuh (ein Schaf, egal was, Hauptsache, das Tier grast), drei Pflöcke, einen Ring, eine Schere und ein langes Seil geerbt.
   Das Tier soll (natürlich!) die Wiese abgrasen. Die ganze Wiese und nichts als die Wiese. Und natürlich kannst du nicht die ganze Zeit aufpassen, dass es nicht aufs Nachbargrundstück geht.
   Kannst du die Pflöcke so einschlagen und dein Tier so anleinen, dass es genau die halbkreisförmige Wiese, nicht mehr und nicht weniger, abgrasen kann.
   
   
2. Palindrome Zahlen
   
   Das Jahr 2002 stellt eine palindromische Zahl dar. Unter einem Palindrom versteht man gewöhnlich ein Wort, das du von vorne nach hinten oder umgekehrt lesen kannst. Dabei bleibt der Inhalt gleich.
   Beispiele gibt es in großer Anzahl: ANNA, UTE, OMO, OTTO, i ( lateinisch: geh), usw.
   Nun lässt sich diese Eigenschaft auch auf Zahlen übertragen, z. B.:
   1234321; 7; 121; 2002, ...

1. Wie viele Palindrome gibt es?
2. Gibt es in diesem Jahrhundert noch eine palindrome Jahreszahl?
3. Gibt es in diesem Jahr ein palindromisches Datum?
4. Wie viele Palindrome gibt es unter 10.000?
   1. Welche sind davon prim?
   2. Gibt es vierstellige palindrome Primzahlen? (Begründe!)
5. Wie viele Palindrome gibt es unter 1.000.000?
6. Finde alle palindromischen Zahlen unter 1.000.000, deren Quadratwurzel ebenfalls ein Palindrom ist.
   

3. Zwei kongruente Quadrate mit der Seitenlänge s= 4 cm überlappen sich. Dabei ist der Mittelpunkt des einen Quadrates ein Eckpunkt des anderen Vierecks. Um diesen Punkt kann das äußere Quadrat gedreht werden, so dass sich ständig anders geformte Überlappungsflächen ergeben. Bestimme die Größe der Schnittfläche (EMDN)! Welches ist der größte ( kleinste) Wert, den diese Überlappungsfläche annehmen kann?