Mathe-Treff: Knobel-Aufgaben für die Stufen 11 bis 13
November/Dezember 2002

1. Der Weihnachtsmann kommt
   
   Ein Weihnachtsmann geht von Himmelspforte in Richtung Christkindldorf mit einer Geschwindigkeit von 4 km/h. Nach einer gewissen Zeit bricht von Himmelspforte aus ein zweiter Weihnachtsmann (einer allein kann es unmöglich schaffen) auf, wiederum nach derselben Zeitspanne ein dritter. Der dritte Weihnachtsmann holt den zweiten auf halben Wege zwischen Himmelspforte Christkindldorf ein. Von da an gehen beide gemeinsam weiter und zwar mit der Geschwindigkeit, die gleich dem arithmetischen Mittel ihrer beider bisherigen Geschwindigkeiten ist. Alle drei kommen gleichzeitig in Christkindldorf an.
   
   1. Mit welcher Geschwindigkeit bewegte sich der zweite Weihnachtsmann ursprünglich,
      wenn der dritte anfänglich mit 6 km/h lief?
      
   2. Welchen prozentualen Anteil des Gesamtweges hat der erste Weihnachtsmann zu dem
      Zeitpunkt zurückgelegt, in dem der zweite Weihnachtsmann von Himmelspforte aus
      aufbrach? Welchen Anteil des Gesamtweges hat der erste Weihnachtsmann zu dem
      Zeitpunkt zurückgelegt, in dem der dritte Weihnachtsmann von Himmelspforte aus
      aufbrach?
      
      
2. Auf dem Weihnachtsmarkt
   
   Auf dem Weihnachtsmarkt wollen Sie eine eigene Nussmischung verkaufen. Im Großhandel können Sie zwei Sorten gemischter Nüsse bekommen:
   Mischung 1 enthält je Kilogramm 0,1 kg Walnüsse, 0,2 kg Mandeln und 0,1 kg Haselnüsse;
   Mischung 2 enthält je Kilogramm 0,2 kg Walnüsse, 0,2 kg Mandeln und 0,6 kg Haselnüsse. Der Rest einer jeden Mischung besteht aus Erdnüssen. Mischung 1 kostet 8 € pro kg, Mischung 2 12 € pro kg im Einkauf.
   Ihre eigene Mischung (aus 1 und 2 gemischt) soll insgesamt mindestens 1 kg Walnüsse, 0,8 kg Mandeln und 1,8 kg Haselnüsse enthalten.
   Wie viel kg jeder Mischung müssen Sie einkaufen, damit die Herstellungskosten für die neue Mischung minimal werden?
   Was kostet ein Kilogramm dieser Mischung im Einkauf?
   
   
3. Weihnachtsbäckerei
   
   Mutter bäckt Dresdner Christstollen. Dazu benötigt sie auch einen Würfel Margarine. Die Mutter betrachtet den Würfel Margarine und fragt ihren Sohn, der ihr beim Backen zuschaut:
   " Kann man durch den Würfel Margarine einen ebenen Schnitt so führen, dass als Schnittfigur ein
   a) gleichseitiges Dreieck,
   b) Quadrat,
   c) regelmäßiges Fünfeck,
   d) regelmäßiges Sechseck,
   entsteht?"
   
   Begründen Sie Ihre Entscheidungen! Gibt es mehrere Möglichkeiten?
   Berechnen Sie falls möglich die Schnittfläche(n) für a) bis d) (Die Kantenlänge des Würfels ist a cm.).