Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9/10
März/Mai 2003

Aufgabe 1:

Zuerst muss gezeigt werden, dass AE=DE ist:
Es ist MD = MA = Radius;
ME ist Hypotenuse beider Dreiecke MEA und MDE.
Die beiden rechten Winkel ergeben somit eine Kongruenz nach ssw.

Damit ist EA = ED.
Das ist ebenso klar, weil die Geraden durch E und A, sowie E und D Tangenten an den Kreis sind.

Mit der gleichen Methode ergibt sich die Gleichheit von FD und FC.

Der Umfang des Dreiecks EFB ergibt sich nun folgendermaßen:

Wegen FD = FC folgt
FB + FD = 16 cm,
Wegen ED = EA folgt
EB + ED = 16 cm,
somit
BE + ED + DF + FB = 32 cm.

Aufgabe 2:

1. Der Brite lebt im roten Haus.
2. Der Schwede hält einen Hund.
3. Der Däne trinkt gerne Tee.
4. Das grüne Haus steht links vom weißen Haus.
5. Der Besitzer vom grünen Haus trinkt Kaffee.
6. Die Person, die Golf spielt, hält einen Vogel.
7. Der Mann, der im mittleren Haus wohnt, trinkt Milch.
8. Der Besitzer des gelben Hauses ist Skiläufer.
9. Der Norweger wohnt im ersten Haus.
10. Der Badminton Spieler wohnt neben dem, der eine Katze hält.
11. Der Mann, der ein Pferd hält, wohnt neben dem Skiläufer.
12. Der Eishockeyspieler trinkt manchmal Bier.
13. Der Norweger wohnt neben dem blauen Haus.
14. Der Deutsche ist Marathonläufer.
15. Der Badminton-Spieler hat einen Nachbarn, der Wasser trinkt.

Frage: Wem gehört der Fisch?

Er gehört dem Deutschen, der im grünen Haus wohnt, Kaffee trinkt und Marathonläufer ist.

Aufgabe 3:

Wenn man den Würfel mit einer Ebene parallel zu einer Seitenfläche schneidet, erhält man ein Quadrat.

1. Wie groß sind Umfang und Fläche des größten rechteckigen Querschnitts?
   

   Die direkte Diagonale von einer Ecke zur anderen erzeugt eine Diagonalenseite von cm. Umfang ist dann 2 (a + b), also 2 ( + 1)
   Fläche ist dann a b, also .

2. Welche Querschnitte erzeugen gleichseitige Dreiecke?
   

   Solche Schnitte, die eine Ecke des Würfels als Zentrum einer Zentralprojektion betrachten lassen. Es gibt sehr viele gleichseitige Schnittflächen.

3. Wie groß ist der Umfang des größtmöglichen Dreiecks?
   

   Folgende Lösung scheint zunächst schlüssig:
   - hier ist die Diagonale durch den ganzen Würfel gesucht, a = . Zusätzlich wird als zweite Seite die Seitendiagonale genommen, also . Als Umfang erhält man dann + 1 + .
   Der größere Umfang ergibt sich aber aus drei Flächendiagonalen mit:
   
   U = 3· .

4. Welches Volumen hat das größtmögliche in den Würfel einzubindende Tetraeder?
   

1. Lösung:
V_Tetraeder = a³ 0,1179 a³
Das Tetraeder ist über die Diagonalen einzuschreiben, daher ist a = . Eingesetzt in die Volumengleichung ergibt das
V_Tetraeder = ( )³ 0,333

2. Lösung:

Neben dem Tetraeder lassen sich im Würfel vier Dreieckspyramiden mit dem Volumen

einfügen. (Siehe Darstellung) Das Volumen der 4 Pyramiden beträgt demnach 2/3 des Würfelvolumens. Das Tetraeder besitzt also einen Rauminhalt, der einem Drittel des Würfels entspricht.