Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9/10
Juni/Juli 2003
Aufgabe 1:
Um den kürzesten Weg zu erhalten, muss man den Quader wie folgt als Netz
darstellen. Die Pfeilspitzen bezeichnen den Start bzw. den Endpunkt der
Spinne.
Die Spinne läuft hier schräg über die Seitenwände. Dafür muss die Spinne
den folgenden Weg zurücklegen:
Der kürzeste Weg der Spinne beträgt demnach rund 8,14 m.
Aufgabe 2:
a)
Der Jäger Rombach legt nach Aufgabenstellung den Weg mit der Geschwindigkeit
von
5 km/h zurück.
Der Hund läuft unabhängig von der Richtung seines Weges genau wie sein
Herrchen auch
1 Stunde lang ununterbrochen mit der konstanten Geschwindigkeit von 10 km/h
Folglich legt der Hund in dieser Stunde 20 km zurück.
b)
Der Hund Senta ist jetzt sogar 3 mal so schnell wie sein Herr, also legt es in
einer Stunde die dreifache Strecke, also hier 3 *5 km = 15 km zurück.
Aufgabe 3:
Drei mögliche Beispiele:
a)147 + 741 + 258 + 852 + 369 + 963 = 3330
b) 148 + 841 + 257 + 752 + 369 + 963 = 3330
c) 147 + 741 + 259 + 952 + 368 + 863 = 3330
Ein möglichen Gegenbeispiel:
d) 159 + 951 + 368 + 863 + 478 + 874 = 3693
Der Grund für das Ergebnis 3330 ist ersichtlich, wenn man die Einer, Zehner
und Hunderter getrennt addiert:
Beispiel a):
| Einer: |
1+7+2+8+9+3 |
| Zehner: |
4+4+5+5+6+6 |
| Hunderter: |
7+1+8+2+3+9 |
Sortiert man die Zahlen nun so um, dass die benachbarten zusammen 10 ergeben,
so erhält man:
| Einer: |
3+7+1+9+6+4 |
1+9+7+3+2+8 |
| Zehner: |
2+8+2+8+5+5 |
4+6+4+6+5+5 |
| Hunderter: |
1+9+3+7+4+6 |
7+3+1+9+8+2 |
Man erhält also jeweils 3 Pärchen, die zusammen die Summe 10 bilden, also
hat jede Stelle die Summe 30!
Man erhält also in beiden Fällen:
30*100 +30 *10 + 30 *1 = 3000+300+30 = 3330
Die Zahlen müssen also gewählt werden, dass sich die Einer, Zehner,
Hunderter usw. immer paarweise zu 10 addieren!
Allgemein gilt für die neun Zahlen:
abc + cba + efg + gfe + hij + jhi .
Schreibweise in der Stellenwerttafel wobei für die Variablen a, b, ..., j gilt:
0< a, b, ..., j <10 und paarweise verschieden.
=100a + 10b + c + 100c + 10b + a + 100e + 10f + g + e + 10 f + 100g + 100h + 10i + j + 100j + 10h + i
= 101a + 101c + 101e + 101g + 101h + 101j + 20b + 20f + 20i
= 101(a + c + e + g + h + j) + 20(b + f + i)
dies soll 3330 ergeben.
3330 kann man in 3030 und 300 zerlegen. Da 30*101 = 3030 und 15*20 = 300 ergeben
ergibt sich folgende Bestimmungsgleichungen:
I) a + c + e + g + h + j = 30
II) b + f + i = 15 und III) ergibt
sich aus der Bedingung
Diese Gleichungen geben auch gleichzeitig die Bedingungen an, die erfüllt sein
müssen.
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