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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 9/10
August/Oktober 2003

Aufgabe 1:

  1. 9 Stufen ("Schichten") hat die Stufenpyramide aus Tennisbällen Die erste Stufe hat 92 Bälle, die zweite Stufe 82 Bälle, dann 72 Bälle, u.s.w. Insgesamt sind es 12+22+32+42+...+92 =285 Bälle.
  2. Offenbar handelt es sich um die Summe der ersten n Quadratzahlen. Da lohnt es sich nachzuschlagen: Die Summe der ersten n Quadratzahlen kann mit n(n+1)(2n+1):6 berechnet werden;
    oder aus der Tabelle lesen wir ab 24·25·49 :6 = 4900 = 702. 
    Ja, es ist möglich: Es sind in einer 24-stufigen Pyramide 4900 Bälle untergebracht.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
n2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
Σn2 1 5 14 30 55 91 140 204 285 385 506 650 819 1015 1240 1496 1785 2109 2470
                    
n 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
n2 400 441 484 529 576625 676 729 784 841 900 961 1024 1089 1156 1225
Σn2287033113795432449005256201693077148555 9455 10416 11440 12529 13685 14910
      !           

Aufgabe 2:

  1. Die Zahlen 24 und 6 erfüllen die Forderungen und liefern 196, das zugelassene Ergebnis.
  2. Zunächst untersuchen wir, ob es eine Lösungsvielfalt gibt: 
    Seien m ("Minuend") und s ("Subtrahend") zwei solche Zahlen, welche die Bedingungen erfüllen (m > s).
    (m + s ) + ( m - s ) + ms + m : s = 196 ergibt
    2m + ms + m:s = 196  nach Multiplikation mit s:
    2ms + ms2 + m = 196s 
    Folglich gilt m = 196s : (s+1)2.  
    Nun sind s und (s+1) als aufeinander folgende Zahlen teilerfremd. 
    Folglich muss (s+1)2 Teiler von 196 = 22·72 sein. 
    Daraus ergibt sich: s+1 = 2 Ú s+1 = 7 Ú s+1 =  2 · 7  
    Û  (s = 1Ùm = 49)Ú(s=6Ù m=24)Ú(s=13Ùm=13) 
    Einziges Lösungspaar ist (24/6) unter Beachtung aller Rahmenbedingungen.

Aufgabe 3:

  1. Hier helfen Skizzen:
    Die Skizze (Bild 1) legt nahe, eine zentrische Streckung eines Quadrates PQRS auszuführen; die Bildpunkte P'Q'R'S' auf den Dreiecksseiten sind die gesuchten Eckpunkte des Quadrates.  Bild 2 zeigt die Zerlegung des gleichseitigen Dreiecks in sechs Flächen, deren Flächeninhalte zusammen den Flächeninhalt des Dreiecks ABC liefern. , , liefert .


  2. Beim einzubeschreibenden Kreis ist die Berechnung einfacher: Der Inkreismittelpunkt  I ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, diese sind im gleichseitigen Dreieck gleichzeitig Höhen und Schwerelinien (Seitenhalbierende), folglich fällt der Punkt I mit dem Schwerpunkt S des Dreiecks zusammen. Der Schwerpunkt des Dreiecks teilt die Schwerelinien im Verhältnis 2 : 1. Ein Drittel der Höhe ist damit die Größe des Radius .