Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 7/8
November/Dezember 2003

Aufgabe 1:

1. 790 – 132 = 658
2. 790 – 658 = 132
3. 907 – 321 = 586
4. 907 – 586 = 321
5. 709 – 586 = 123
6. 790 – 632 = 158
7. 790 – 158 = 632
8. 907 – 326 = 581
9. 907 – 581 = 326
10. 590 – 132 = 467
11. 807 – 213 = 594
12. 783 – 659 = 124
13. 513 – 026 = 487

Aus den gegebenen Lösungen lassen sich noch weitere ableiten.

Aufgabe 2:

Es gibt keine zweistellige Zahl, die sich verdoppelt, wenn man ihre Ziffern vertauscht?
Die zweistellige Zahl bestehe aus den Ziffern a und b, wobei a, b Î {1,2,3,...,9}.

Es soll also gelten:

 

D.h. ein Vielfaches von 19 muss dann einem Vielfachen von 8 entsprechen, wobei nur die jeweiligen Vielfachen von 1 bis 9 in Betracht kommen.
V(8) = {8,16,24,32,40,48,56,64,72}
V(19) = {19,38,57,76,...}
Keine Übereinstimmung!

Es gibt also keine zweistellige Zahl, die sich verdoppelt, wenn man ihre Ziffern vertauscht.

( Diese Lösung stammt vom Mathe-Plus_Kurs in Unterhaching.)

Aufgabe 3:

Die Fläche macht 1/7 der Fläche des großen Dreiecks aus.

Das Dreieck A₁B₁C₁ hat die 7-fache Fläche wie das Dreieck ABC.
Zuerst habe ich mir eine Zeichnung gemacht und die Flächeninhalte der gezeichneten Dreiecke in cm² ausgerechnet. Dabei kam ein Verhältnis von 7,05 heraus.
Dann habe ich ein Pappmodell gebaut und versucht, die Fläche des Dreiecks A₁B₁C₁mit kleinen Pappdreiecken ABC auszulegen. Das hat nicht geklappt, aber man kann sich vorstellen, dass abgeschnittene Überstände so eingefügt werden könnten, dass es ungefähr den 7fachen Flächeninhalt ergibt.
Dann wollte ich die Flächen der Dreiecke C₁CB₁, B₁BA₁und C₁AA₁ mit der Höhenformel ausrechnen, aber das wurdemir zu kompliziert. Dabei ist mir die Idee gekommen, diese Dreiecke zu denParallelogrammen C₂C₁CB₁, B₁BA₁B₂ und C₁AA₁A₂ "auszuklappen",die ich auf der Zeichnung orange, blau und grün eingefärbt habe. Diese 3 Parallelogramme kann ich mit jeweils 4 Pappdreiecken ABC auslegen. Das habe ich versucht auf der Zeichnung mit grauen Dreiecken darzustellen. Wenn aber eines dieser Parallelogramme die vierfache Fläche von ABC hat, dann hat das Dreieck, aus dem dieses Parallelogramm entstanden ist, die doppelte Fläche wie das Dreieck ABC. Folglich hat das große Dreieck A₁B₁C₁die Fläche von 2+2+2+1=7 kleinen Dreiecken ABC.

(Die dargestellte Lösung stammt von Alexander Schuppert.)