Mathe-Treff: Knobel-Aufgaben für die Stufen 11 bis 13
August/Oktober 2003

1. Pyramiden 
   
   Schon immer wollten Menschen hohe Gebäude errichten – zum Teil deshalb, weil sie ein monumentales Grabmal haben wollten, das weithin sichtbar sein sollte, oder auch nur deshalb, weil sie von einem hohen (künstlichen) Standort weithin über die Erde schauen wollten, oder gerade deshalb, weil so ein Dickschädel wie Nebukadnezar, Herrscher in Babylon, zu Fuß in den Himmel steigen wollte. Hohe Gebäude faszinieren uns heute ("Wolkenkratzer") wie damals (Pyramiden, Tempel, kolossale Gebilde); 5000 Jahre konnten die stabilen Pyramiden überdauern (P. in Ägypten, Zentralafrika, Stufenpyramiden in Mittelamerika, auf Sizilien) Lassen wir uns einmal von diesem Thema leiten:
   
   Pompeja hat vom Tennisplatz viele Tennisbälle gesammelt und legt einen Teil davon in quadratischer Form auf die Wiese im Garten: Sie hat zunächst 9 Reihen zu je 9 Bällen dicht zusammengefügt; in die Lücken fügt sie je einen weiteren Ball und zwar so, dass vier untere Bälle den oberen Ball stützen. Das setzt sie dann fort von Stufe zu Stufe.
   1. Wie viele Bälle braucht sie für den Bau ihrer Ball-Pyramide, die ganz oben genau einen Ball als Spitze hat? 
      
   2. Weil ihr das so gut gelingt, baut sie eine größere Super-Ball-Pyramide, die jedoch von ihrem Hund Zähsar zerstört wird. Sie will die Vollzähligkeit der Bälle prüfen und legt sie in gleich lange Reihen. Dabei fällt ihr auf, dass sie eine quadratische Anordnung gewählt hat. Ist das möglich? Finden Sie die Anzahl der Bälle. 
      
   3. Wie hoch war Pompejas Super-Ball-Pyramide? 
      
   4. Schon Diophant von Alexandria beschäftigte sich vor etwa 1800 Jahren mit der Anzahl von gleich großen Bällen (oder Ähnlichem) bei bestimmten Anordnungen (regelmäßiges Dreieck, Quadrat). Er fand heraus, dass allgemein gilt: "1 + achtfache Anzahl der Bälle im Dreieck liefert eine Anzahl der Bälle in einem Quadrat". Ob Diophant Ballsportler war, ist nicht überliefert. Überprüfen Sie die fachliche Aussage!
      
      
2. Zahlen raten – systematisches Probieren
   
   Tatjana hat für Georg folgende Aufgabe: "Ich habe mir zwei verschiedene Zahlen größer als 1 ausgedacht. Wenn ich ihre Summe, ihre Differenz, ihr Produkt und ihren Quotienten addiere, erhalte ich eine Quadratzahl, nämlich 196. Rate diese Zahlen."
   1. Können Sie Georg einen Tipp geben?
      
   2. Ist die Lösung eindeutig? – Begründen Sie Ihre Antwort.
      
      
3. Maximales gesucht
   
   Für eine Ausstellung soll um eine Glaskugel ein gläsernes Tetraeder gebaut werden.
   1. In welchem Verhältnis stehen Kugelradius und Kantenlänge des Tetraeders zueinander?
      
   2. Welchen Anteil hat der Rauminhalt der Kugel am Tetraedervolumen?