Mathe-Treff: Knobel-Aufgaben für die Klassen 9 und 10
Januar/Februar 2004

1. Bänder
   
   Lege dir zunächst mehrere DIN-A4-Blätter oder größere Blätter, Klebeband, eine Schere sowie vier verschiedenfarbige Stifte zurecht. Schneide dann ein Blatt entlang der Längsseite in etwa 2 cm breite Streifen.
   
   
   
   1. Klebe die Enden eines Streifens so zusammen, dass ein Ring entsteht, d. h. klebe die linke Seite AB des Streifens mit der rechten Seite A`B` so zusammen, dass A auf A` und B auf B` fällt. Male die Innen- und Außenseite des Ringes und die Kanten mit verschiedenen Farben an.
      
      Drehe den zweiten Streifen halb, bevor du die Enden zusammenklebst, d. h. klebe die linke Seite AB des Streifens mit der rechten Seite A`B` so zusammen, dass A auf B` und B auf A` fällt. Verfahre jetzt wie mit dem ersten Streifen.
      Was ist das Besondere an diesem Band?
      
      Ein dritter Streifen wird nun vor dem Zusammenkleben zuerst um 360° gedreht, so dass nun wieder A auf A` und B auf B` fällt. Verfahre auch hier wie mit dem ersten Band.
      Worin unterscheidet sich dieses Band vom zweiten?
      
   2. Stelle einige 180° Bänder her: Zerschneide ein Band längs der Mittellinie, ein weiteres so, dass es gedrittelt wird. Experimentiere weiter und formuliere die Ergebnisse!
      
   3. Experimentiere auch mit 360° und 540° Bändern!
      
   4. Welchen besonderen Namen haben die "180° Bänder"?
      
   5. Formuliere die Bauanleitung für einen Torus und eine Kleinsche Flasche!
      
      
2. Potenzen
   
   Begründe, dass alle Differenzen der Form
   
   2³ - 1³
   3³ - 2³
   4³ - 3³
   ...
   ...
   ...
   bei der Division durch 6 den Rest 1 haben.
   
3. Kaffee oder Milch?
   
   
   Maria und Max sind beim Frühstück. Max trinkt Kaffee und Maria Milch aus einer Tasse. In beiden Tassen befindet sich die gleiche Menge Flüssigkeit.
   "Gib mir bitte einen Löffel Milch aus deiner Tasse," bittet Max Maria.
   "Gern," sagt Maria, "aber bitte gib mir dann einen Löffel von deinem Milchkaffee zurück, damit ich wieder die gleiche Flüssigkeitsmenge wie du habe."
   Jetzt hat Max einen Milchkaffee und Maria ein Milch - Kaffee - Getränk.
   "Habe ich eigentlich mehr Kaffee in meiner Milch als du Milch in deinem Kaffee?" fragt Maria.
   Max weiß es auch nicht so genau, aber er sagt: " Ich glaube, dass ich mehr Milch im Kaffee habe als du Kaffee in der Milch."
   Hat Max recht? Begründe deine Überlegungen!