Mathe-Treff: Knobel-Aufgaben für die Stufen 11 bis 13
Einsendeschluss: 31. Dezember 2004

1. Die früh einsetzende Dunkelheit bietet (vielleicht) auch die Gelegenheit in einem Buch über Mathematik oder Mathematiker zu lesen (z.B. über Zahlentheorie in der Computervorzeit oder Paul Erdös, einen 1996 verstorbenen ungarischen Mathematiker, der ein geniales Gedächtnis für Primzahlen und mathematische Zusammenhänge hatte). Wir sind im Allgemeinen schon erfreut, falls wir alle Primzahlen unter 1000 sicher kennen.
   Folgende Aussage soll aber nicht nur für diese sondern für alle Primzahlen p, die größer als 3 sind, gelten: 24 ist Teiler von p² - 1.
   

2. In einer sternklaren Nacht an den Himmel schauend denken wir vielleicht an Filme von der Mondlandung, an die nicht messbare Weite des Weltraum oder versteigen uns dahingehend, dass wir jemandem die Sterne zu Füßen legen wollen. Auf jeden Fall besitzen auch gezeichnete oder (z.B. aus Transparentpapier) gefaltete Sterne nicht erst seit dem Mittelalter eine besondere Faszination.
   
   
   

1. Ermitteln Sie die Anzahl und das Verhältnis von Länge und Breite der Papierstreifen für den Bau eines Sterns mit folgenden Eigenschaften:

1. Es sollen gefaltete Teile wie in Figur 3  verwendet werden.
2. Die Teile werden von der Sternmitte aus so zusammengeklebt, dass sie sich jeweils bis zur Symmetrielinie überlappen.

3. Die schraffierten Zonen der Spitzen sollen sich nicht überlappen, aber (theoretisch) sollen je  zwei benachbarte Teile genau einen Punkt gemeinsam haben.

2. Verfahren Sie mit Sternteilen wie in Figur 4 wie unter a).

3. (optional = Kür) Senden Sie ein Bild von einem nach diesen Mustern selbstgebauten Stern. (Anregung siehe Abb. "Stern" )
   
   

3. Ein nicht mehr genutztes - und inzwischen von Schadstoffen befreites - ehemaliges Industriegelände wird vom angrenzenden Schrebergartenverein "Frische Luft" erworben und an Pächter (Vereinsmitglieder) vergeben. Das Grundstück hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks mit 360m langen Seiten. Zu den Grundpflichten der Pächter gehört, dass sie die vom Verein gestifteten Heckenpflanzen an ihrer Grundstücksgrenze auf der zum Grundstück weisenden Innenseite regelmäßig schneiden müssen; die Höhe der zu zahlenden Pacht richtet sich nach der Größe der Grundstücksfläche.
   
   1. Vier Brüder machen dem Verein einen Vorschlag: "Wir beide wollen das ganze Grundstück für unsere Familien (in vier verschieden große Flächen geteilt) pachten, und zwar so, dass für jede Familie der Erholungswert gleich ist, das heißt: Die Arbeit an der Hecke muss gleich groß sein. Die Brüder erklären sich bereit, die Teile nach der Größe ihres Einkommens zu pachten." - Der Verein besteht darauf, dass die Grundstückszugänge (durch Tore) von demselben Weg (also derselben Seite) erfolgen muss. Wie kann der Verein dieses Problem lösen? Machen Sie einen Vorschlag.
      
   2. Berechnen Sie, in welchem Verhältnis stehen die jeweiligen Pachtbeträge?
      

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