Von einer Funktion f, die für alle von 0 verschiedenen reellen Zahlen erklärt ist, sei vorausgesetzt, dass folgendes gilt:

(1) Es ist f(1) = 1.

(2)

(3) Für alle und mit ist .

Paul behauptet nun, dass ohne die Funktionsgleichung(en) zu kennen, für jede Funktion, die die obigen Bedingungen erfüllen immer gilt: .

Emanuel muss wieder einmal eine schreckliche Gleichung lösen. Da er nur einen Teil im Unterricht mitgeschrieben hat, steht bei ihm im Heft die folgende Gleichung:

ax–6 = bx–4

Beim Lösen dieser Gleichung mit gegebenen natürlichen Zahlen a und b stellt Emanuel fest:

(1) Die Gleichung hat eine natürliche Zahl x als Lösung.

(2) Die gleiche Zahl ergibt sich, wenn man – zur Durchführung der Probe – jeweils auf einer Seite dieser Gleichung die gefundene Lösung x einsetzt.

Ermitteln Sie für alle Paare (a|b) natürlicher Zahlen, für die diese Feststellungen zutreffen.

Klaus soll ein Dreieck ABC konstruieren. Leider weiß er nicht viel über das Dreieck, nur so viel:

(1) Der Radius des Umkreises von ABC hat die Länge von .
(2) Die Längen der Seiten des Dreiecks verhalten sich wie 2:3:4.

Klaus weiß sich überhaupt keinen Rat! Er wendet sich an seinen Opa Gustav, der noch in der guten alten Zeit Mathematikunterricht genossen hatte. Opa Gustav sagte:“ Ist doch ganz easy!“ So schnell konnte Klaus gar nicht schauen, wie Opa Gustav das Dreieck konstruiert hatte.

Sind Sie auch so schlau wie Opa Gustav?