Mathe-Treff der Bezirksregierung Düsseldorf

Mai/Juni 1997

Eine Ebene wird durch n Geraden in Teilgebiete zerlegt. Wie viele unbeschränkte Gebiete gibt es höchstens? Hier ist eine Zerlegung durch vier Geraden in acht nicht beschränkte Teilgebiete gegeben.
Die autogerechte Insel
Die 10 Städte an der Küste der Insel Mathemia waren bislang nur durch die Küstenstraße verbunden. Doch jetzt soll nach einer Forderung des Automobilclubs jede Stadt mit jeder anderen durch eine gerade Straße verbunden werden und an jeder Kreuzung soll eine Ampelanlage aufgestellt werden. Die Verkehrsplaner grübeln nun, wie viele Straßen gebaut werden müssen und wie viele Ampelanlagen im Höchstfalle gebraucht werden.

Juli/August 1997

In dem folgenden Zahlenschema müssen alle Buchstaben durch Ziffern ersetzt werden. Verschiedene Buchstaben sind auch verschiedene Ziffern. Beweise, daß es keine Zuordnung von Ziffern zu Buchstaben gibt, die das Zahlenschema löst.
```
AB   *   AC   =   CDE
*        +         +
EF   +   AB   =   GH
____________________
DBB  -   IG   =   AKE 
```
Ein Würfel mit den Bezeichnungen A, B, C, ... H für die Eckpunkte liege auf der Grundfläche mit den Eckpunkten A, B, C, D. Der Würfel soll auf der Ebene nur über seine Kanten gekippt werden.
1. Wie oft muß der Würfel mindestens gekippt werden, bis er über alle vier Kanten der Grundfläche gekippt worden ist?
2. Wie sehen die Wege aus, die die Eckpunkte der Grundfläche ausführen, wenn eine Folge von Kippbewegungen aus Teil a) durchgeführt wird? Vergleiche die Weglängen durch Zeichnung bzw. Berechnung.
3. Beziehe in den Vergleich auch den Weg und die Weglänge des Würfelmittelpunktes mit ein.
Endziffern von Potenzen
1. Welche Endziffer hat die Zahl 1077⁷⁸?
2. Bestimme die Endziffer der Zahl 7ⁿ mit n aus N in Abhängigkeit von n.
3. Für eine natürliche Zahl a endet a²⁰ auf eines der Ziffernpaare 00, 01, 25 oder 76. Beweise diese Aussage und zeige auf, in welcher Weise die Endziffern davon abhängen, ob a gerade oder ungerade oder durch 5 teilbar ist.

September/Oktober 1997

Auf wieviele verschiedene Arten kann man aus der Menge der Zahlen von 1, 2, 3, ..., 97, 98, 99 drei auswählen, deren Summe durch 3 teilbar ist.
Im Jahre 1988 stimmt das Alter einer Person ( P ) mit der Summe der Ziffern (Quersumme ) seines Geburtsjahres überein.
In welchem Jahr wurde P geboren?
Sieh dir folgende Gleichungen an:
1
1 + 8 = 9
1 + 8 + 27 = 36
1 + 8 + 27 + 64 = 100
1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225
1. Kannst du eine Regel finden?
2. Wie könnte die nächste Zeile lauten?
3. Was haben die Zahlen auf der rechten Seite gemeinsam?
4. Kannst du eine Gesetzmäßigkeit für die linken Seiten der Gleichungen finden?
5. Überprüfe die Gesetzmäßigkeiten für die beiden folgenden Zahlen.

November/Dezember 1997

Wird eine zweistellige Zahl durch ihre Einerziffer geteilt, ergibt sich 6 Rest 5, bei Division durch ihre Zehnerziffer 11 Rest 3.
Zeige, daß es nur eine Zahl mit diesen Eigenschaften gibt und bestimme sie.
Eine Mutter und ihre drei Kinder sind zusammen 63 Jahre alt. Die Mutter ist siebenmal so alt wie Roland. Tobias ist doppelt so alt wie Roland, Stephan war vor drei Jahren fünfmal so alt wie Roland.
Wie alt sind die Mutter und ihre Kinder?
Weise nach, daß der Term n^³-n für jede natürliche Zahl n durch 6 teilbar ist.
Für welche natürlichen Zahlen ist der Term auch durch 12 teilbar?

Januar/Februar 1998

Aus einer 1 m² großen quadratischen Schieferplatte soll ein größtmögliches regelmäßiges Achteck herausgesägt werden.
Welche Seitenlänge hat das Achteck?
Wie groß ist die Seitenlänge y des Achtecks für ein beliebiges Quadrat mit der Seitenlänge a ?
Auf dem Tisch steht eine Schüssel mit Erdbeeren. 3 Schwestern Anna, Berta und Christa kommen nacheinander nach Hause und essen von den Erdbeeren. Zunächst isst Anna 1 Erdbeere und dann den 3. Teil der restlichen Erdbeeren, da die ursrprüngliche Erdbeerzahl nicht durch 3 teilbar war. Als Berta nach Hause kommt, glaubt sie, sie sei die erste, die von den Erdbeeren isst und nimmt zunächst 2 Erdbeeren und dann ein Drittel vom verbleibenden Rest. Als letzte kommt Christa nach Hause und glaubt auch, die erste zu sein, die von den Erdbeeren isst. Sie nimmt 2 Erdbeeren und dann ein Drittel vom verbleibenden Rest. Als die Mutter nach Hause kommt, stellt sie fest, dass nur 56 Erdbeeren gegessen wurden.
Wieviel Erdbeeren waren ursprünglich in der Schüssel?
Gegeben ist das Gleichungssystem
x + y = 1
und
x² + y² = c
mit c aus IR
1. Bestimme für c = 2 alle Paare ( x ; y ), die das System erfüllen.
2. Untersuche die Anzahl der Lösungen des Systems in Abhängigkeit von c.

März bis 14. Mai 1998

Bestimme alle Zahlen, die 5 mal so groß sind wie ihre Quersummen.
Die Zahl 1998 kann man als Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen schreiben.
1. Wie lauten diese Zahlen?
2. Geht das auch für die Zahl 1999?
Untersuche, für welche Zahlen man eine derartige Summendarstellung finden kann und für welche nicht.
In der folgenden Figur sind die Längen von a und a1 gleich. Der Winkel bei P ist doppelt so groß wie der Winkel bei B.
1. Wie groß ist der Winkel bei C?
2. Was kann man über die Lage des Punktes P auf der Strecke AB aussagen?

15. Mai bis August 1998

Der ungarische Rechenkünstler Pataki berechnet das Produkt 95 · 97 auf folgende Weise:
(1) Er addiert die Faktoren 95+97=192
(2) Er streicht die erste Stelle der Summe 92
(3) Er bildet die Differenz aus 100 und dem einen Faktor und die Differenz aus 100 und dem anderen Faktor und multipliziert die Differenzen. Ergibt sich als Produkt eine einstellige Zahl, so schreibt er eine Null davor 3 · 5=15
(4) Er schreibt das Ergebnis von (3) hinter das Ergebnis von (2) und erhält 9215

Untersuche, ob dieses Verfahren für alle Faktoren zwischen 90 und 100 gültig ist.
Es sei ABCD ein Tangentenviereck, sein Umfang sei u, der Radius seines Inkreises sei r.
Zeige, dass bereits durch die alleinige Vorgabe von u und r der Flächeninhalt von ABCD eindeutig bestimmt ist; ermittle diesen Flächeninhalt in Abhängigkeit von u und r.

Hinweis: Ein Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn es einen Kreis enthält, der jede Seite von ABCD in einem Punkt zwischen den Endpunkten dieser Seite berührt. Dieser Kreis ist dann der Inkreis von ABCD.
In einem Land gibt es nur zwei Sorten von Menschen: Edelmänner und Schurken.
Jeder Edelmann macht nur wahre Aussagen, Jeder Schurke nur falsche Aussagen.
Ein nicht aus diesem Land stammender Reporeter berichtet, er habe folgendes Gespräch dreier Einwohner A, B und C dieses Landes gehört:

A sagt zu B : " Wenn C ein Edelmann ist, dann bist du ein Schurke."
C sagt zu A : " Du bist von anderer Sorte als ich."

Kann ein solches Gespräch stattgefunden haben? Wenn das der Fall war, geht dann aus dem Gespräch für jeden der drei A, B und C eindeutig hervor, ob er Edelmann oder Schurke ist, und zu welchen Sorten gehören dann A, B und C?

September/Oktober 1998

Wie lautet die Endziffer von 2 ^¹⁹⁹⁸?
Gesucht sind alle dreistelligen Zahlen, bei denen die Summe aus der Zahl und ihrer Quersumme 519 ist.
Wie viele Erbsen passen in eine 1,5 Liter Cola-Flasche? Nenne die Zahl und beschreibe, wie Du sie gefunden hast.

November/Dezember 1998

Beweise, dass die Differenz der Quadrate von zwei beliebigen ungeraden Zahlen stets durch 8 teilbar ist.
Herr D fährt in 70 % aller Fälle mit dem Rad zum Dienst, in 25 % aller Fälle mit der U-Bahn und nur in 5 % aller Fälle mit dem Auto. Dabei verspätet er sich manchmal.
Wenn er Rad fährt, kommt er mit 99 % Wahrscheinlichkeit pünktlich.
Benutzt er die U-Bahn, so ist er mit 80 % Wahrscheinlichkeit pünktlich im Amt.
Wenn er jedoch mit dem Auto durch den Düsseldorfer Berufsverkehr fährt, ist er nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % pünktlich.
Gestern ist er zu spät gekommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er sein Auto benutzt?
Stellt ein Koch auf jeden Tisch
Eine Portion leckeren Fisch,
so fehlt einer Portion Fisch ein Tisch.
Stellt der Koch auf jeden Tisch
zwei Portionen Fisch,
so bleibt ein Tisch ohne Fisch.
Wie viele Fische?
Wie viele Tische?

Januar/Februar 1999

In einem allseitig geschlossenen, quaderförmigen Glaskasten befinden sich genau 600 cm³ Wasser. Legt man den Kasten nacheinander mit einer seiner Außenseiten auf eine waagerechte Unterlage, so beträgt die Wasserhöhe im Kasten einmal 2 cm, einmal 3 cm und einmal 4 cm.
Ermittle das Fassungsvermögen des Kastens.
Ein Gast in der Spielbank hat Glück. Schon viermal hintereinander verdreifachte sich sein Einsatz. Jetzt hat er 3240 DM. Wie groß war sein Einsatz beim ersten Spiel?
Die Differenz zweier Zahlen ist 2, die Differenz der Quadrate dieser Zahlen ist 1000. Wie lauten die Zahlen?

März/Mai 1999

Die drei Kinder einer 40 Jahre alten Frau sind zusammen so alt wie die Mutter. Das jüngste Kind ist dabei halb so alt wie das älteste. Vor acht Jahren waren die Kinder nur halb so alt wie die Mutter.
Bestimme das Alter der genannten Personen.
Vervollständige untenstehende Gleichung so, dass eine wahre Aussage ergibt:

R o t T o r = O r t

Gegeben sind 4 Beutel A, B, C und D. In jedem Beutel sind insgesamt 5 Kugeln gleicher Größe und von selbem Gewicht.

Beutel	Anzahl der roten Kugeln	Anzahl der weißen Kugeln
A	4	1
B	3	2
C	2	3
D	0	5

Jürgen wählt einen der 4 Beutel und zieht eine weiße Kugel.

Für welchen Beutel spricht dieses Indiz am stärksten?
Wieviel mal stärker spricht es für Beutel C als D?
Jürgen zieht aus einem Beutel viermal mit Zurücklegen " weiß, weiß, weiß, rot". Welche der vier Alternativen wird durch das vierstufige Indiz "wwwr" am stärksten gestützt?

Juni/August 1999

In der Zeichnung sind die Flächen A, B und C gleich groß, während A dreimal so groß ist wie D. Bestimme den Flächeninhalt von A.
1. Beweise: Bei jeder natürlichen Zahl, die man in den Term einsetzt, ist das Ergebnis immer durch 3 teilbar.
2. Gibt es noch eine größere Zahl, durch die das Ergebnis immer teilbar ist? Begründe!
3. Welches ist die größte Zahl, durch die alle Ergebnisse teilbar sind, wenn man für n nur gerade Zahlen einsetzt?
Beim Sportfest laufen aus jeder der Klassen 9a, 9b, 9c und 9d zwei Schüler beim 1000-m-Lauf. Alle Schüler kommen nacheinander ins Ziel. Es wird beobachtet:
- zwischen den beiden Schülern aus der 9a kam ein anderer ins Ziel
- zwischen den beiden Schülern aus der 9b kamen zwei andere ins Ziel
- zwischen den beiden Schülern aus der 9c kamen drei andere ins Ziel
- zwischen den beiden Schülern aus der 9d kamen vier andere ins Ziel.
In welcher Reihenfolge kamen die Schüler ins Ziel? Untersuche, ob es mehrere Möglichkeiten gibt.

September/Oktober 1999

Eine Gleichung durchläuft folgende Entwicklung:

a = b
a²= ab
a²+a²-2ab = ab + a² - 2ab
2( a²-ab ) = a²- ab
2 = 1

Kann das sein?
Claude Gaspar Bachet de Méziriac gehörte zu den gelehrtesten Männern seiner Zeit im Frankreich des 17. Jahrhunderts. Er hatte eine Schwäche für mathematische Rätsel und veröffentlichte eine Sammlung von Knobeleien unter dem Titel:
" Problèmes plaisants et délectables".
Eine Frage drehte sich um Gewichte:
Welches ist die kleinste Anzahl von Gewichten, mit denen jedes ganzzahlige Gewicht von 1 bis 40 Kilo auf einer (Balken-) Waage gemessen werden kann?
Zeige deine Vermutung für 5, 10, 24,und 40 kg und begründe deine Ansicht.
Was ist die größte Zahl der Schnittpunkte, die 10 Kreise mit dem gleichen Durchmesser haben können?

Wie viele Schnittpunkte bilden 2 ( 3,4,5,6) Kreise höchstens?

November/Dezember 1999

Die Schülerinnen und Schüler einer Klasse sollen das folgende Gleichungssystem lösen:

Frank hat sich verschrieben und statt mit 812 mit 802 gerechnet. Als er seine Lösung mit der Lösung seiner Mitschüler vergleicht, wundert er sich sehr.
1. Welche erstaunliche Beobachtung hat Frank gemacht?
2. Wie läßt sich die Beobachtung erklären?
Einfache Teilbarkeitsregeln sind allgemein bekannt, z. B. die Quersummenregel für Teilbarkeit durch 3. Eine etwas weniger bekannte Regel gibt es für die Teilbarkeit durch 7. Sie lautet:

Schneide von der Zahl die beiden letzten Stellen ab, multipliziere den Rest mit 2 und addiere die abgeschnittenen Stellen. Prüfe die erhaltene Zahl auf Teilbarkeit durch 7.

Beispiel: Prüfe 24192 auf Teilbarkeit durch 7. Bilde 2*241+92=574. Bilde 2*5+4 = 14. Da 14 durch 7 teilbar ist, ist auch 574 durch 7 teilbar und deshalb auch 24192.

Beweise die Gültigkeit dieser Teilbarkeitsregel.
Untersuche, welche Endziffern ein Produkt aus 4 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen haben kann.
Begründe Deine Ergebnisse.

Januar/Februar 2000

Berechne einen Näherungswert für x:
S_n sei die Summe der ersten positiven ungeraden Zahlen:
S₃: 1 + 3 + 5 = 9
1. Bestimme S₅ !
2. Welche Summe haben S₇ bzw. S₁₀ ?
3. Stelle eine Vermutung für S_n auf!
Auf einer Kreislinie sind 3 Punkte angebunden. Sie lassen sich frei auf der Kreislinie verschieben.
Diese 3 Punkte sind die Eckpunkte eines Dreiecks.
Wann hat dieses Dreieck den größtmöglichen Umfang?
Versuche deine Entscheidung zu begründen!

März/Mai 2000

Gaby, Hans und Jürgen haben Krokant-, Nougat- und Marzipaneier bekommen. Jürgen hat doppelt so viele Eier wie Hans, Hans hat doppelt so viele wie Gaby. Insgesamt sind es mehr als 50 aber weniger als 60 Eier. Dabei gibt es insgesamt genau so viele Nougateier wie Krokanteier. Die Zahl der Marzipaneier ist so groß wie die Zahl der Nougat- und der Krokanteier zusammen. Zusätzlich ist bekannt:
(1) Gaby mag kein Marzipan, aber sie hat gleich viele Krokant- und Nougateier.
(2) Jürgen hat 6 Marzipaneier mehr als Hans.
(3) Hans und Jürgen haben gleich viele Krokanteier.
Wie viele Eier haben die einzelnen Kinder von jeder Sorte?

Anna, Bernd, Claudia und Dirk haben Ostereier gesucht.
(1) Claudia hat weniger Eier gefunden als Bernd.
(2) Anna und Bernd zusammen haben weniger Eier gefunden als Claudia und Dirk zusammen.
(3) Claudia und Bernd zusammen haben genau so viele Eier gefunden wie Anna und Dirk zusammen.
Sortiere die Kinder nach der Anzahl der gefundenen Eier.

Die Hasen Hoppel und Moppel haben es eilig. Sie laufen je mit einer Ladung Eier über das Feld, ohne nach links und rechts zu sehen. Hoppel läuft diagonal über das Feld, Moppel quer. Hoppel hat eine Geschwindigkeit von 10 m/s, Moppel eine von 8,5 m/s. Beide laufen gleichzeitig los. Besteht die Gefahr, dass sie zusammenstoßen und dabei die Eier zerbrechen?

Juni/August 2000

Sehnensechseck
Zeige, dass in einem Sehnensechseck die Summe dreier nicht benachbarter Innenwinkel 360° beträgt.
Auf einem Tisch liegen gleich große Bälle zu einer dreiseitigen Pyramide aufgeschichtet. Die Bälle der untersten Schicht werden durch Leisten am Wegrollen gehindert. Die Bälle der anderen Schichten liegen jeweils in den Vertiefungen der darunterliegenden Schicht.In der untersten Schicht zählt man an jeder Seite 10 Bälle. Wie viele Bälle liegen in jeder Schicht und wie viele in der ganzen Pyramide?
Auf wieviel Nullen endet die Zahl 50! ( Lies 50 Fakultät)
Begründe dein Ergebnis!

September/Oktober 2000

Frische Pilze enthalten 96 % Wasser. Ruth hat 1 kg Pilze geerntet, die sie in die Sonne zum Trocknen legt. Nach dem Trocknen wiegen die Pilze noch 200 g. Wie viel Prozent Wasser enthalten sie jetzt?
Eine Straßenbahn legt die 18 km lange Strecke zwischen ihren Endstellen planmäßig mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 30 km/h zurück. Als während einer Fahrt ein Stromausfall war, erreichte sie auf der Strecke nur eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 24 km/h. Wie lange dauerte der Stromausfall?
Aus den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 und 5 sollen 6-stellige Zahlen gebildet werden. Dabei soll jede Ziffer genau einmal verwendet werden. Notiere alle Primzahlen, die dabei entstehen.

November/Dezember 2000

Ein Bündel von Einheitswürfeln mit der Kantenlänge 1 cm ist zusammengesetzt zu einem größeren Würfel. Einige der Oberflächen des großen Würfels sind angemalt.
Nun wird der große Würfel weggenommen und 24 !!! der inneren kleinen Würfelchen sind an keiner Stelle bemalt.
1. Wie viele kleine Würfel waren in dem großen Würfel?
2. Welche Teiloberflächen des großen Würfels waren bemalt?
Multipliziert man eine dreistellige natürliche Zahl mit 7, so ergibt sich eine Zahl, die auf die Ziffern...638 endet.
Wie heißt die Zahl?
Aus der Buchstabenmenge { p, r, o, d, u, k, t } sollen nur Wörter (auch sinnlose) mit
4 Buchstaben gebildet werden.
Wie hoch ist die Anzahl der möglichen Wortbildungen, wenn
1. Kein Buchstabe wiederholt werden darf?
2. Wiederholungen erlaubt sind?
3. Ein Wort aus 2 Konsonanten und 2 Vokalen der gegebenen Buchstabenmenge bestehen soll?

Viel Spaß beim Lösen wünscht der Mathe-Treff der Bezirksregierung Düsseldorf!
http://www.mathetreff.de

Die Lösungen finden sich im Knobel-Archiv.