(Die Aufgaben sind erstmalig im September 1998 erschienen!)

September/Oktober 1998

1. Die Radien der Kreise sind gleich. Gesucht sind die Seitenlängen des Rechtecks.
   
   
   
   
2. Herr Müller hat am 15. August Geburtstag. In diesem Jahr stellte er fest, daß sein Alter um 1 kleiner ist als das Dreifache der Quersumme seines Geburtsjahres. Wie alt ist Herr Müller in diesem Jahr geworden?
   
   
3. Wie viele Erbsen passen in eine 1,5 Liter Cola-Flasche? Nenne die Zahl und beschreibe, wie Du sie gefunden hast.
   
   

November/Dezember 1998

1. Ein Student verfügt auf Grund einer Erbschaft zu Beginn seines Studiums über ein Guthaben von 60.000 DM. Sein Guthaben wird auf einer Bank mit 6,5 % verzinst. Er hebt regelmäßig zu Beginn eines jeden Jahres 7200 DM aus dem dann noch vorhandenen Guthaben ab.
   Wie hoch ist der Guthabenstand nach 4 Jahren?
   
   
2. Gegeben sei das rechtwinklige Dreieck ABC. Über den Katheten a und b werden rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke gezeichnet (CBF und ACD ), ebenso über der Hypotenuse c ( jetzt in das gegebene Dreieck; ABE).
   
   1. Zeige: Die Punkte D,C,E und F liegen dann auf einer Geraden.
   2. Um die Punkte D,E und F werden Kreisbögen gezeichnet (r = Länge der Kathete des dazugehörigen Dreiecks).
      
      
      Vergleiche den Inhalt der so entstehenden "Sichelfläche" mit dem Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
      
      
      
3. Dividiert man 1992 durch n, so erhält man den Rest 111.
   Teilt man aber 2991 durch n, so bleibt ein Rest von 65.
   Wie groß ist n?
   

Januar/Februar 1999

1. Die Aufgabe 1 ist im Stile sicherlich anders als die sonstigen Knobelaufgaben. Sie ist uns von Schülern eines Leistungskurses eingereicht worden und gehört zu einer Serie von mathematischen Aufgaben, die von Schülern einer amerikanischen High-School entwickelt wurden und offensichtlich durch die science-fiction-Welt der Jugendlichen geprägt wurden.
   Hier geht es um den Kampf zwischen den Physikern, repräsentiert durch Joe Physics, und den Anti-Physikern. Joe Physics hat haarsträubende und lebensgefährliche Abenteuer zu bestehen. Die Lösungen der dazugehörigen mathematischen Probleme zeigen, ob Joe die Episode überlebt oder nicht. Glücklicherweise hat er mehrere Leben, was im Zeitalter der Computerspiele aber niemanden verwundert. Dabei ist also keine echte Anwendungsorientierung gefragt, sondern es gibt eine offensichtlich irreale und fiktive Rahmenstory, die als Einkleidung für Mathe-Aufgaben dient, die aus Sicht der Schüler weniger langweilig formuliert sind.
   Diese Aufgaben-Serie erfreut sich denn auch bei den amerikanischen Jugendlichen großer Beliebtheit.
   Die Aufgaben sind genausowenig als Aufruf zur Gewalt zu deuten wie das Märchen von Hänsel und Gretel.
   Aber sicher entspricht diese Art Aufgaben bis hin zur etwas flapsigen Formulierung nicht dem Stil der Aufgaben, wie sie von deutschen Lehrern oder in einem deutschen Schulbuch gestellt würden.
   Was meinen Sie dazu? Ihre Meinung interessiert uns.
   Schicken Sie eine Mail an den Mathe-Treff.
   
   Die Aufgabe stammt vom Leistungskurs 12 des Gymnasiums Korschenbroich unter der Leitung von Herrn Dr. Heiß:
   
   Nach monatelanger, harter Arbeit beschließt Joe Physics einen Einkaufsbummel nach Dusseltown zu machen, um sich von seiner Arbeit und den überstandenen Gefahren ein wenig zu entspannen. Dabei fährt er auf der Autobahn A1, die durch die Gleichung y = x/2 +1 gegeben ist, mit einer konstanten Geschwindigkeit von 60 km/h (1 Einheit entspricht Kilometer). Er startet beim Punkt mit der x-Koordinate X₀ = 37.67 und bewegt sich in Richtung kleinerer x-Werte.
   Zur selben Zeit starten 2 Mitglieder der Anti-Physik-Gang, die Joe für immer und ewig loswerden wollen, ein ferngesteuertes Auto, welches eine Bombe enthält. Dieses Auto fährt auf der Autobahn A2, deren Gleichung y = -2x + 3.5 ist, mit der konstanten Geschwindigkeit von 70 km/h auf Joes Auto zu. Die x-Koordinate des Startpunkts des Bombenautos beträgt X₁ = 20.466.
   Die Bombe zerstört bei der Explosion alles in einem Umkreis von 0.1 Kilometern und ist mit einem speziellen Anti-Joe Sensor ausgestattet, der die Detonation der Bombe verursacht, sobald sich Joe in dem oben gegebenen Umkreis befindet.
   Wird Joe jemals ein entspannendes Wochenende in Dusseltown verbringen können, oder wird er auf seinem Weg von der Anti-Physik-Gang ausgelöscht ???
   (Die Nummern und Richtungen der Autobahnen in dieser virtuellen Welt entsprechen nicht denen der realen Welt)
2. In der Figur seien die beiden gefärbten Flächen gleich groß. Berechnen den Abstand der Kreismittelpunkte in Abhängigkeit vom Kreisradius:
   
   
   
3. Albert, Bruno (nicht der Webmaster der Bezirksregierung :-) ), Christoph und Dieter stehen im Verdacht, ein Fenster eingeworfen zu haben. Auf die Frage, wer von ihnen der Täter sei, behaupten Albert und Bruno: "Ich war es nicht!" Dieter sagt: "Bruno war es." Christoph sagt: "Dieter war es."
   Es ist bekannt, daß genau einer der vier Jungen lügt.
   Wer war der Täter?
   

März/Mai 1999

1. Angenommen, man wäre in der Lage, um die Erde eine Schnur zu spannen, die ganz eng am Boden anliegt. Gebirge, Meere und andere profane Dinge seien außer Acht gelassen. Die Schnur soll der Einfachtheit halber genau 40.000 km lang sein. Wenn man nun dieses straff gespannte Seil um einen Meter verlängert, so liegt es natürlich nicht mehr eng an. Wie groß ist dann der gleichmäßig verteilte Abstand des Seiles?
   Könnte eine Maus, eine Ameise oder vielleicht ein Kaninchen darunter durchkriechen?
2. Kombinieren ist Trumpf
   Die vorliegende Aufgabe wurde bei der Internationalen Mathematikolympiade 1964 in Moskau vorgestellt.
   In einer IL-18 der Interflug, die von Moskau nach Berlin fliegt, sitzen fünf Fluggäste in einer Reihe nebeneinander.
   Ihre Berufe sind: Journalist, Feinmechaniker, Lehrer, Kapitän und Ingenieur
   Sie gehören folgenden Nationen an: Polen, Ungarn, Deutschland, UdSSR, Zypern
   Sie sind verschieden alt: 21, 24, 32, 40, 52
   Sie treiben verschiedene Sportarten: Volleyball, Leichtathletik, Fußball, Schwimmen und Handball
   Ihre Reiseziele sind: Berlin, Leipzig, Dresden, Chemnitz und Rostock
   Aus Gesprächen entnehmen wir folgende Aussagen:
   1. Der Ingenieur sitzt ganz links.
   2. Der Volleyballspieler hat den mittleren Platz.
   3. Der Feinmechaniker ist 21 Jahre alt.
   4. Der Pole ist Journalist.
   5. Der Lehrer treibt Schwimmsport.
   6. Der Kapitän reist nach Rostock.
   7. Der Handballspieler stammt aus Deutschland.
   8. Der Reisende aus der UdSSR fliegt nach Leipzig.
   9. Der nach Berlin fliegende Reisende ist 32 Jahre alt.
   10. Der Leichtathlet hat das Reiseziel Chemnitz.
   11. Der Fluggast aus Ungarn sitzt neben dem Fluggast aus Deutschland.
   12. Der 52-jährige sitzt neben dem Reisenden, der nach Dresden will.
   13. Der 24-jährige sitzt neben dem Reisenden, der nach Leipzig fliegt.
   14. Der Ingenieur sitzt neben dem Zyprioten.

   Beantworten Sie folgende Fragen:

   1. Wie alt ist der Kapitän?
   2. Welche Staatsangehörigkeit hat der Fußballspieler?

   
   

3. Zeige, dass die Zahl für jede natürliche Zahl n durch 8 teilbar ist.
   

Juni/August 1999

1. Einem rechtwinkligen Dreieck sind wie in der Zeichnung dargestellt 3 Kreise einbeschrieben. Der Radius des ersten Kreises beträgt 1. Wie groß ist der Anteil der Dreiecksfläche, der von den Kreisen überdeckt wird?
   
   
   
   
2. Untersuche, wie viele fünfstellige Zahlen es mit folgender Eigenschaft gibt:
   Nimmt man die 1. Ziffer der Zahl weg und fügt sie hinten wieder an, so erhält man eine viermal so große Zahl.
   
   
3. In einem Koordinatensystem werden die Punkte mit nichtnegativen ganzzahligen Koordinaten gemäß der Figur numeriert. So hat z. B. der Punkt mit den Koordinaten (3/1) die Nummer 12.
   Welche Nummer hat der Punkt mit den Koordinaten (19/99)?
   
   
   
   

September/Oktober 1999

1. Beweise indirekt:
   Die dritte Potenz einer ungeraden Zahl ist eine ungerade Zahl.
   
   
2. Nicht erst seit der Fussballweltmeisterschaft in den USA hat der Frauenfussball hohes Ansehen in der Welt. Auch in der Schule wollen immer mehr Mädchen Fussball spielen.
   In einer Oberprima sind 15 Mädchen ( junge Damen ), die gerne ein Team für die Schulmeisterschaft aufstellen möchten.
   Dabei taucht die Frage nach der Menge aller möglichen Mannschaftsaufstellungen auf.
   
   
3. Zeichne ein Parallelogramm ABCD mit AB = 10 cm. Zeichne EF mit E zwischen A und B und F zwischen C und D so, dass EF die Fläche von ABCD halbiert.
   Wenn EF= 4 ist, wie lang ist FD ?
   Begründe deine Antwort.
   
   

November/Dezember 1999

1. Die Schülerinnen und Schüler einer Klasse sollen das folgende Gleichungssystem lösen:
   
   Frank hat sich verschrieben und statt mit 812 mit 802 gerechnet. Als er seine Lösung mit der Lösung seiner Mitschüler vergleicht, wundert er sich sehr.
   1. Welche erstaunliche Beobachtung hat Frank gemacht?
   2. Wie läßt sich die Beobachtung erklären?

    

2. Bekanntlich haben die Papierblätter im DIN A Format die besondere Eigenschaft, dass bei Halbieren eines Blattes ein Blatt entsteht, das zum ursprünglichen Blatt ähnlich ist.
   1. Begründe, dass es diese Eigenschaft nur deshalb gibt, weil das Verhältnis der Seiten eines DIN A Blattes einen ganz bestimmten Wert hat.
   2. Es soll nun eine Quader konstruiert werden, der die gleiche Eigenschaft hat: bei Halbieren des Quaders entsteht ein zum Ausgangsquader ähnlicher Quader.

    

3. Es soll die Oberfläche und das Volumen des dargestellten (dachähnlichen) Körpers berechnet werden. Der Körper ist massiv und hat an keiner Stelle eine Öffnung.
   Für die Maße gilt:
   a = 10; b = 10; c = 20; d = 15; e = 2; f = 7

Januar/Februar 2000

1. Berechne die Länge der Schnecke, die in der Zeichnung angegeben ist. Wie lang wird die Schnecke, wenn man sie um 3 Teilstrecken fortsetzt ?
   
   
2. S_n sei die Summe der ersten positiven ungeraden Zahlen:
   S₃: 1 + 3 + 5 = 9
   
   
   1. Bestimme S₅ !
   2. Welche Summe haben S₇ bzw. S₁₀ ?
   3. Stelle eine Vermutung für S_n auf!
   4. Beweise die Vermutung aus c) mittels vollständiger Induktion.
      
3. Wie viele Wege führen vom K bis zum P?
   Auf wie viele Arten kann man dadurch das Wort Kaleidoskop bilden?

K
A A
L L L
E E E E
I I I I I
D D D D D D
O O O O O
S S S S
K K K
O O
P

März/Mai 2000

Johannes möchte für seinen Hasen in der Hausecke einen Stall bauen. Als Stütze will er einen Pfahl verwenden, der von beiden Hauswänden je 3 m entfernt steht. Er hat insgesamt 10 m Maschendraht. Wie groß wird die Fläche des Stalls?

Der Hase Willibald läuft auf der dargestellten Bahn schräg über ein Feld. In der Ecke ist seine Höhle. Gleichzeitig mit ihm startet in der gegenüberliegenden Ecke der Fuchs Rotfell. Rotfell macht Sprünge von jeweils 1 m Länge. In der Zeit, in der Rotfell einen Sprung macht, legt Willibald eine Strecke von 80 cm zurück. Nach jedem Sprung ändert Rotfell seine Richtung: er springt immer genau in die Richtung, in der er Willibald sieht. Sein erster Sprung geht in Richtung von Willibalds Startpunkt. Wird Willibald rechtzeitig die rettende Höhle erreichen?

Die Hasen Hoppel und Moppel haben es eilig. Sie laufen je mit einer Ladung Eier über ein Feld, ohne nach links und rechts zu sehen. Hoppel läuft von Punkt A zu Punkt B, Moppel von C zu D. Hoppel läuft 3 s eher los. Beide haben die gleiche Geschwindigkeit. Bei welcher Geschwindigkeit besteht die Gefahr des Zusammenstoßes?

Juni/August 2000

1. Zeichne ein gleichseitiges Dreieck ABC und konstruiere über den Dreiecksseiten nach außen je ein Quadrat. Verbinde nun die äußeren Eckpunkte.
   Zeige, dass die neuen Dreiecke alle den gleichen Flächeninhalt haben wie das Dreieck ABC.
   
   
   
2. Auf wieviel Nullen endet die Zahl 50! ( Lies 50 Fakultät)
   Begründe dein Ergebnis!
   
   
3. Auf einem Tisch liegen gleich große Bälle zu einer dreiseitigen Pyramide aufgeschichtet. Die Bälle der untersten Schicht werden durch Leisten am Wegrollen gehindert. Die Bälle der anderen Schichten liegen jeweils in den Vertiefungen der darunterliegenden Schicht.

• In der untersten Schicht zählt man an jeder Seite 10 Bälle. Wie viele Bälle liegen in jeder Schicht und wie viele in der ganzen Pyramide?
• Wie viele Bälle liegen in der Pyramide, wenn längs einer Kante der unteren Schicht beliebig viele Bälle liegen?
  

September/Oktober 2000

1. 
   Die beiden gelben Quadrate sind gleich groß. In welchem der Quadrate ist der Anteil der roten Fläche größer?
   
   
   
   
   
   
2. Klaus will einen Drachen bauen. Die senkrechte Leiste soll 70 cm lang sein, die waagerechte Leiste 40 cm. Die längere der schrägen Außenkanten soll genau doppelt so lang sein wie die kürzere. Wo muss die waagerechte Leiste an der senkrechten befestigt werden?
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
3. Aus den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 und 5 sollen 6-stellige Zahlen gebildet werden. Dabei soll jede Ziffer genau einmal verwendet werden. Notiere alle Primzahlen und alle Quadratzahlen, die dabei entstehen.
   
   

November/Dezember 2000

1. Ein regelmäßig achteckiger Spiegel wird mit einem Holzrahmen versehen. Die Holzleiste ist 5 cm breit und hat auf einer Seite eine Einkerbung für das Spiegelglas.
   Wie viele cm Leiste werden gebraucht? Um wie viele cm wird der Umfang des Spiegels größer?
   
   
2. Herr Leibniz, der Chef vom Suppenhersteller "CanCan" beauftragt uns, eine neue Konservendose zu entwickeln. Es sollen zylinderförmige Dosen für Einzel- und Familienportionen hergestellt werden.
   Unabhängig vom Volumen sollen die Oberfläche und die Kosten minimiert werden.
   Welche Eigenschaft hinsichtlich Höhe und Radius muss erfüllt werden?

3. Untersuchen Sie, ob es eine vierstellige Quadratzahl q mit folgenden Eigenschaften gibt:
   1. Alle Ziffern von q sind kleiner als 7.
   2. Vergrößert man jede Ziffer um 3, so ist die neu entstandene Zahl auch eine Quadratzahl.
      

Viel Spaß beim Lösen wünscht der Mathe-Treff der Bezirksregierung Düsseldorf!
http://www.mathetreff.de

Die Lösungen finden sich im Knobel-Archiv.