Mathe-Treff: Magazin - Aufgaben vor ihrem Hintergrund
Die Seitenansicht eines Autos

von Achim Kleifeld, Köln

In der Abiturprüfung eine Aufgabe zu stellen, die durchgängig mit Derive bearbeitet werden soll, das erfordert Mut und sorgfältige Planung. Achim Kleifeld hat es getan, in einem Leistungskurs an einer Gesamtschule. Im folgenden stellen wir Ihnen seine Aufgabe vor: In ihr wird die Seitenansicht eines Autos modelliert. Er geht dann auf seine Zielvorstellungen, seine unterrichtlichen Voraussetzungen, auf Durchführung und Ergebnisse ein. Achim Kleifeld hat in Duisburg die Schule besucht, in Karlsruhe Mathematik und Informatik mit Diplomabschluss studiert und dann noch das erste und zweite Staatsexamen in Duisburg und Krefeld gemacht. Er arbeitet als Lehrer in Kerpen und wohnt in Köln. Der Mathe-Treff will ja auch immer wissen, was Mathematiker machen, wenn sie keine Mathematik machen. Bei Achim Kleifeld ist das fast berufstypisch: Er liebt klassische Musik und befasst sich mit Kunst und Philosophie - wie das eben in unserer Branche so ist. Und noch eins: Er korrigiert immer bei unserem Online-Teamwettbewerb mit.

Die Aufgabe

a) Die Seitenansicht eines Autos soll mit fünf einzelnen Funktionsstücken gezeichnet werden, aus denen sich die gesamte Funktion auto(x) zusammensetzt: Motorhaube, Windschutzscheibe, Dach, Heckscheibe, Kofferraum, alles im Intervall [0;10].

Stellen Sie aus folgenden Bedingungen für die Motorhaube ein Polynom auf und lösen Sie das zugehörige LGS mit DERIVE. In der Datei „auto.mth“ finden Sie die Funktionen W(x) für die Windschutzscheibe, D(x) für das Dach und K(x) für den Kofferraum.

Vorgaben der Konstruktionsabteilung für die Motorhaube:

Motorh(0) = 1;       Motorh(3) = 2;       Motorh’(0) = 1;      Motorh’(3) = 0.

b) Es fehlt die Heckscheibe. Es soll ein Coupé entstehen. Die Heckscheibe ist entsprechend ohne Knick einzufügen.

Was bedeutet „ohne Knick“? 
Stellen Sie geeignete Bedingungen für die gesuchte Heckscheiben-Funktion  auf und berechnen Sie diese.  Es ist Dach(6) = 3, Koff(7) = 2 und Koff’(7) = 0.

c) Die Karosserie reicht nicht bis zum Boden: Stellen Sie eine geeignete konstante Funktion als untere Begrenzung auf und berechnen Sie die Fläche zwischen dieser unteren Funktion und der oberen (zusammengesetzten!) Grenzfunktion aus a) und b) mit Integralen in DERIVE.

d) Geben Sie eine Exponentialfunktion an, die einen Heck-Spoiler darstellt.
Er soll am Übergangspunkt von der Heckscheibe zum Kofferraum ansetzen und dort eine Steigung von 0.5 haben.
Lösen Sie das entsprechende Gleichungssystem mit DERIVE.

Drucken Sie die zugehörige Zeichnung aus

Anlage: eine Derive-Datei

Zur Zielsetzung

Es geht mir grundsätzlich nicht vorrangig darum, durch Einsatz eines Computer-Algebra-Systems (CAS) möglichst komplexe und spektakuläre Aufgabenbereiche für den Mathematikunterricht und das Abitur zu erschließen.

Stattdessen sind meine Ziele eher die folgenden:

- Ersetzen des (meist verständnislosen) Durchrechnen von Aufgabenschemata durch dokumentierte, kommentierte und interpretierte Lösungen von Aufgaben.
- Bevorzugung von Aufgabentypen, in denen es auch um das Erkennen und Beschreiben von Zusammenhängen geht.
- Erwerben einer Grundkompetenz, die heute zu (fast) jeder Anwendung von Mathematik gehört.

Noch einmal: Die Fragen „Was rechne ich?“, „Warum rechne ich gerade das?“ und „Was bedeutet das Ergebnis?“ sind mir wichtiger als die Frage „Wie rechne ich das?“. Die Dokumentation eines Löungsweges kann innerhalb des CAS stattfinden; dann kann die Lösung ausschließlich aus Dateien oder deren Ausdruck bestehen. Sie kann auch im Heft geschehen; dann ist das CAS eher als Hilfsmittel zu betrachten. Ich habe die zweite Art des CAS-Einsatzes gewählt, ohne dies anderen nahe legen zu wollen. An die Bedienungsfähigkeiten des CAS werden hierbei etwas geringere Anforderungen gestellt.

Zu den Voraussetzungen

In der Jgst. 11 habe ich das CAS als Funktionenplotter und teilweise zum Lösen von Gleichungen und kleinen Gleichungssystemen verwendet. Der Umfang war gering, da die Kurse bekanntlich in der Jgst. 12 neu zusammengestellt werden. In den Jgst. 12 und 13 habe ich das CAS in manchen Unterrichtsreihen sporadisch eingesetzt. Quantifiziert waren es vielleicht 20% der Unterrichtszeit. Der Umfang sollte sich an der Lerngruppe orientieren.

Bei folgenden Themen wurde teilweise mit dem CAS gearbeitet:

• Funktionen(scharen)
• Grenzwerte
• LGS (Matrizen)
• lineare Abbildungen (Matrizen)

Ohne größere Probleme habe ich damit sogar (in einem bestimmten Anwendungszusammenhang sinnvolle) Basistransformation zwischen zwei verschiedenen Polynombasen behandeln und erklären lassen können.

Das Interesse war wechselhaft; vielen hat es „Spaß gemacht“, einige wenige fanden es lästig. Ein Grundinteresse an diesem Arbeitsmedium war auf jeden Fall vorhanden, zu viel Computereinsatz gefiel aber auch nicht allen. „Computerfreaks“ haben hier nach der Einführungsphase keinerlei Vorteile. Die anfängliche Beschränkung auf wenige „Befehle“ zwecks schnellen Erreichens von Erfolgserlebnissen kann ich nur dringend empfehlen, wie auch das zunehmende selbstständige und freie Arbeiten mit dem System. Lernende können viele Rechnungen ausprobieren, da die Rechenzeit sehr gering ist.

Auf keinen Fall sollte die Abiturprüfung die erste Prüfung sein, in der das CAS eingesetzt wird!

Zur Durchführung

Für den Einsatz eines PC-gestützten CAS sind natürlich bestimmte Rahmenbedingungen notwendig:

• Hinreichend häufige Belegbarkeit eines Computerraums während der zwei Jahre.
• Hinreichende technische Sicherheit zur Prüfungszeit.
• „Kopierschutz“: Optimalerweise hat jeder Schüler ein eigenes Kennwort (evtl. pro Arbeitsplatz). Bei freiem Zugriff auf andere Ordner (wie bei uns) muss die Kontrolle entsprechend hoch sein. Bei DERIVE kann die Zeit des Speicherns einer Datei mit ausgedruckt werden. Man könnte auch nur auf Diskette speichern oder gar nicht speichern und nur drucken. Wie auch immer – so etwas ist in der Regel lösbar!
• Bei größeren Kursen gibt es sicherlich weniger Computer als Schüler. Dieses Problem hatte ich nicht, werde ich aber im nächsten Abitur 2005 haben. Falls es zwei Computerräume gibt, kann über getrennte Beaufsichtigung nachgedacht werden, sonst muss die Rechnerarbeitszeit pro Person begrenzt werden.

Alle Probleme entfallen beim Einsatz eines CAS-Taschenrechners (etwa TI 92). Hier liegen die Probleme wohl eher bei der Anschaffung.

Zur Auswertung

Da die Aufgabenteile a) und b) vom Typ her bekannt waren und der Computereinsatz in der Prüfungssituation geübt war, bereiteten diese Teile niemandem Schwierigkeiten. Das Einschalten des (gewohnten) Gerätes scheint sogar zu beruhigen, vielen fühlen sich sicherer.
Punktverluste gab es nur bei der Dokumentation des Lösungsweges; sie waren aber nicht wesentlich.

Die Aufgabenteile c) und d) waren in dieser Form relativ neu. Dementsprechend wurden sie auch nur etwa zur Hälfte einigermaßen erfolgreich bearbeitet. Einige Lösungen ließen erkennen, dass hier Raum für Kreativität beginnt.

Durch die Beschränkung auf relativ wenige Möglichkeiten des CAS blieb dessen Einsatz für alle Lernenden überschaubar; beim letzten Kurstreffen (nach der Klausur) wurde deutlich, dass der DERIVE-Einsatz als angenehm empfunden worden war.

PDF-Datei mit einer Derive-Lösung und weiteren Hinweisen