Neben der Spur: Spiegeln ganz anders

Wenn Sie sich für Mathematik interessieren, werden Sie mir recht geben: Achsenspiegelungen und Punktspiegelungen sind zwar nicht richtig langweilig, aber auch nicht spannend. Ich möchte Ihnen die Siegelung am Kreis vorstellen. Wenn Sie sie noch nicht kennen, so lernen Sie sie eben jetzt kennen: An einem Kreis spiegeln, ist reizvoller als an Geraden oder an Punkten. Kreise sind für Mathematiker eben klasse.

Man nehme eine Kreis k(M;r) und eine Punkt P, der außerhalb dieses Kreises liegt. Man konstruiere die Tangenten durch P an ihn. Dazu braucht man bekanntlich einen Thaleskreis, siehe Bild 1.

P wird nun bei der Spiegelung an dem Kreis k auf P´, dem Mittelpunkt der Verbindungsstrecke Q1 und Q2 abgebildet, wobei Q1 und Q2 die beiden Berührpunkte der Tangenten an k von P aus sind. Mit ist der erste Fall einer Spiegelung am Kreis definiert.

Liegt der Punkt P - zweiter Fall - im Inneren des Kreises, so geht man sinngemäß vor: Man errichtet das Lot g auf der Geraden MP in P. Das Lot g schneidet den Kreis etwa in T. In T konstruiert man die Tangente an den Kreis. Sie steht natürlich wie immer senkrecht auf ihrem Berührradius. Diese Tangente nun schneidet das Lot durch M und P in P´. Wir erhalten wieder die Abbildung , siehe Bild 2. Damit ist also eine umkehrbar eindeutige Abbildung zwischen den Punkten der Ebene ohne M - der in M gelochten Ebene - definiert, die die Punkte der Kreislinie selber fix lässt. Äußeres wird nach innen gespiegelt, Inneres nach außen; deshalb nennt man diese Abbildung Spiegelung am Kreis.

Meine beiden Bilder habe ich mit Euklid DynaGeo konstruiert. Geometrie macht mir erst richtig Freude, seit ich Konstruktionen mit der Maus durchführen kann. Ich empfehle auch Ihnen, die Spiegelung am Kreis mit eine dynamischen Geometriesoftware durchzuführen. Man hat dann nämlich den Vorteil, sich die Funktionsweise der Spiegelung am Kreis durch die Dynamik klarmachen zu können. Nehmen Sie also den Punkt P und bewegen Sie ihn mit der Maus. Sie sehen dann, was mit P´ passiert.

Hier nun Mathematik betreiben, bedeutet, Fragen zu stellen und zu forschen. Etwa welche Beziehung besteht zwischen und ? Es ergibt sich

aber warum?

Oder: Mit Euklid kann man in wunderbarer Weise nachträglich Punkte an Objekte heften, also z. B. den Urbildpunkt P an einen weiteren Kreis oder an eine beliebige Gerade. Man studiert dann die Spur des Bildpunktes P´, wenn P auf dem Kreis oder auf der Geraden wandert. Bei Achsen - oder Punktspiegelungen passiert dann Langweiliges, weil natürlich Kreise auf Kreise und Geraden auf Geraden abgebildet werden, bei die Spiegelung am Kreis aber liegen die Dinge ganz anders. Ich wünsche viel Vergnügen bei der Forschung und stelle nur noch eine kleine Frage: Wenn eine Linie so aussieht wie ein Kreis, ist es dann schon ein Kreis? Wenn eine Gerade so aussieht wie eine Gerade, ist es dann auch eine Gerade? Zum Schluss ein Tipp: Betrachten Sie z. B. das Bild eines Kreise, der durch den Mittelpunkt M des Spiegelkreises verläuft. Welches Bild ergibt dann? Es entsteht wunderbare Mathematik, die mit schönen Tricks und den Strahlensätzen arbeitet.

Literatur, die mir besonders gut gefällt und weiterhilft:

E. Chr. Wittmann, Elementargeometrie und Wirklichkeit, Wiesbaden, 1987, S.173 ff.

Rolf Neveling