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Die endliche geometrische Reihe

Unter einer endlichen geometrischen Reihe versteht man die Summe

(1)

Entsprechend heißt die unendliche Summe

unendliche geometrische Reihe. Die drei Punkte am Ende deuten also an, dass unendliche viel Summanden vom Typ  addiert werden sollen.

Wie berechnet man solche Summen möglichst geschickt? In diesem kleinen Kapitel befassen wir uns mit dem endliche Fall. Demnächst an dieser Stelle mehr.

Wir betrachten zunächst ein Beispiel, in dem wir   setzen und  den Summenwert s dieser endlichen Reihe

(2)

für den Fall n=10 berechnen.

Wir könnten natürlich

summandenweise addierten; aber es gibt einen sehr wertvollen Trick, den wir nun anwenden: Wir multiplizieren die Reihen in (2)  - natürlich beide Seiten - mit und erhalten dann

(3)

Ziehen wir nun von der Reihe (2) die Reihe (3) ab, so fallen alle mittleren Summanden weg und es ergibt sich

Wenn wir nun noch die Gleichung mit 2 multiplizieren, ergibt sich die schöne Darstellung

(4)

Das war der erste Teil des Gedankens.

Wenn man sich das Beispiel richtig anschaut, wir sofort klar, wie man den Gedanken verallgemeinern kann. Wir setzen wieder

(5)

multiplizieren mit q und erhalten

(6) bzw.

(7)

Wir ziehen von Reihe (5) die Reihe (7) ab und erhalten analog zu oben

Indem wir nun noch beide Seiten durch die Klammer   teilen, erhalten wir die Summenformel für die endliche geometrische Reihe

So kann man auf bequeme Weise endliche geometrische Reihenwerte berechnen, ein überzeugendes Ergebnis. Aber mit dieser Formel kann man noch viel, viel mehr anfangen. Wie gesagt, davon demnächst mehr an dieser Stelle.

(nev)