Vergleichsarbeit Analysis Stufe 11

Lösung

Allgemeine Vorbemerkung:

Die Darstellung der algebraischen Umformungen ist an mehreren Stellen sehr gedrängt, um Kopierkosten zu sparen. Aus demselben Grund sind die Zeichnungen zu den Aufgaben zusammengefasst.

Aufgabe 1:

1. f ’(x) = 2ax + b.
   Es gilt:
   f(3)= 3 Ù f’(3) = -2 Û 9a + 3b = 3 Ù 6a + b= -2 Û 3a + b = 1 Ù 6a + b= -2
   Û 3a = -3 Ù 6a + b = -2 Û a = -1 Ù -6 + b = -2 Û a = -1 Ù b = 4
   Die gesuchte Funktion f ist also gegeben durch f(x) = -x² + 4x.
   
2. Es gilt f ’(x) = -2x + 4. Es ist allgemein t(x) = f ’(x₀)(x - x₀) + f(x₀), also ergibt sich hier: t(x) = 2(x-1) + 3 = 2x + 1. Für den Steigungswinkel a der Tangente gilt:
   tan(a ) = f ’(1) = 2, also a = 63,4349..°.
   
3. Die gesuchte Normale n hat die Steigung -0,5. Sie verläuft durch (1; 3).
   Also gilt: n(x) = -0,5(x-1) + 3 = -0,5x + 3,5. Geforderte Zeichnung siehe unten.
   
4. Das Dreieck hat einen Inhalt von 0,5· (3,5-1)· 1 FE = 1,25 FE.
   
5. Ein notwendiges Kriterium für das Vorliegen einer Wendestelle von g an einer Stelle x_w ist: g’’(x_w)=0.
   Rechnung: g’’(x) = 0 Û f’(x) = 0 Û -2x + 4 = 0 Û x = 2
   Allenfalls bei x = 2 kann also eine Wendestelle vorliegen.
   
   Ein hinreichendes Kriterium für das Vorliegen einer Wendestelle von g an einer Stelle x_w ist: g’’(x_w) = 0 Ù g’’’(x_w) ¹ 0. Rechnung: g’’’(2) = f’’(2) = -2 < 0
   x= 2 ist also die einzige Wendestelle von g.
   

(Selbstverständlich kann hier auch mit dem Scheitelpunkt der Parabel f argumentiert werden.)

Aufgabe 2:

1. Skizze siehe unten
   
2. Der gesuchte Bereich ist der zwischen den Nullstellen von f. Es gilt:
   f(x) = 0 Û -2x³ + 24x² = 0 Û 2x²(-x+12) = 0 Û x=0 oder -x + 12 = 0.
   Der gesuchte Bereich ist das abgeschlossene Intervall [ 0; 12 ].
   
3. Ein notwendiges Kriterium für das Vorliegen eines lokalen Extremums an einer Stelle x_E ist: f ’(x_E) = 0.
   Rechnung:
   f ’(x) = 0 Û -6x² + 48x = 0 Û -6x(x-8) = 0 Û x = 0 Ú x = 8
   
   Ein hinreichendes Kriterium für das Vorliegen eines lokalen Extremums an einer Stelle x_E ist: f ’(x_E) = 0 Ù f ’’(x_E) ¹ 0.
   Rechnung: f ’’(x) = -12x + 48 Þ f´’’(8) = -48 < 0
   An der Stelle x_E = 8 liegt ein lokales Maximum vom Wert f(8) = 512 vor.
   
   Da die Funktion f an den Rändern des Intervalls [ 0; 12 ] jeweils den Funktionswert 0 hat, handelt es sich bezogen auf diesen Bereich um ein absolutes Maximum.
   
4. Die mittlere Änderungsrate von f über einem Intervall [ a; b ] Í [0 ; 12 ],
   also der Term (f(b)-f(a)) / (b-a), beschreibt in diesem Zusammenhang die Durchschnittsgeschwindigkeit, mit der die Wassermenge in der Zeit von a bis b zunimmt / abnimmt.
   Die lokale Änderungsrate , also der Wert f ’(x₀), beschreibt hier die Momentangeschwindigkeit, mit der die Wassermenge zum Zeitpunkt x₀ zunimmt / abnimmt.
   
5. Ein notwendiges Kriterium für das Vorliegen eines Wendepunktes an einer Stelle x_W ist: f ’’(x_W) = 0.
   Rechnung:
   f ’’(x) = 0 Û -12x+48 = 0 Û x = 4
   
   Ein hinreichendes Kriterium für das Vorliegen eines Wendepunktes an einer Stelle x_W ist: f ’’(x_W) = 0 Ù f ’’’(x_W) ¹ 0.
   Rechnung: f ’’’(x) = -12 Þ f ’’’(4) = -12 ¹ 0
   An der Stelle x_W = 4 liegt ein Wendepunkt vor.
   
   Es handelt sich um den Punkt (4; f(4)) = (4; 256)
   
6. Die Wendestelle ist in diesem Zusammenhang derjenige Zeitpunkt, an welchem die Wassermenge im Pumpspeicherwerk mit der größten Geschwindigkeit zunimmt / abnimmt.
   
   
   

Aufgabe 3:

1. Unter der Tangente an den Graphen einer in x₀ differenzierbaren Funktion f an der Stelle x₀ versteht man die Gerade, die durch den Punkt (x₀; f(x₀)) verläuft und die Steigung f’(x₀) hat.
   
2. f(x)= x³ - x² + 2 Þ f´’(x) = 3x² - 2x
   Die Tangentengleichung ist: t(x) = f ’(3)(x - 3) + 20 = 21x - 43
   Berechnung der gemeinsamen Punkte von Funktionsgraph und Tangente:
   f(x) = t(x) Û x³ - x² + 2 = 21x - 43 Û x³ - x² - 21x + 45 = 0
   Û (x-3)(x²+2x-15) = 0 Û (x-3) (x-3)(x+5) = 0 Û x = 3 Ú x = -5
   Die gemeinsamen Punkte sind der Berührpunkt (3;20) sowie der Punkt (-5; -148).
   
3. f(x) = ax² Þ f´’(x) = 2ax
   Die Tangentengleichung für die Stelle 2 ist t(x) = 4a(x - 2) + 4a = 4ax - 4a.
   Es ist f(x) = t(x) Û ax² - 4ax - 4a = 0 Û a(x-2)² = 0 Û x = 2 (da a ¹ 0)
   
4. Es ist P = (p;p²).
   Es ist also Q=(0;p²). Dann hat nach Konstruktion der Punkt R die Koordinaten (0;-p²).
   Die Tangente an den Graphen von f in P hat die Gleichung
   t(x) = 2p(x - p) + p² = 2px - 2p² + p² = 2px - p².
   Ihr Schnittpunkt mit der y-Achse ist offenbar der Punkt R. Zeichnung hierzu siehe unten.
   
   
   

Zeichnung zur Aufgabe 1c):

Zeichnung zur Aufgabe 2a):

Zeichnung zur Aufgabe 3d):