Vergleichsarbeit Analysis Stufe 11

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Aufgabe 1:

Gegeben ist die Funktion f(x) = 0,5x² – 2x + 1.

1. Ermitteln Sie die erste, zweite und dritte Ableitung von f.
2. Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung von f im Intervall [0; 2].
3. Welche Steigung hat der Graph von f an der Stelle x = 1 ?
4. Stellen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = 1 auf.
5. In welchem Punkt hat der Graph von f die Steigung – 3 ?
6. Berechnen Sie mit dem Differenzenquotienten die Ableitung von f an der Stelle x = 2.
   
   

Aufgabe 2:

Bild 1 Bild 2 Bild 3

Gegeben ist der Graph der ganzrationalen Funktion f gemäß Bild 1. In Bild 2 und Bild 3 sind die Graphen von Ableitungsfunktionen g'1 und g'2 dargestellt. Begründen Sie, warum keine der beiden Funktionen als Ableitung von f in Frage kommen kann. Markieren Sie auf dem Graphen von f in Bild 1 die Anteile in einer anderen Farbe, für die f '(x)>0  gilt. Skizzieren Sie dann den Graphen von f '(x). Skizzieren Sie den Graphen einer Funktion g1, die als Ableitung die Funktion g'1aus Bild 2 hat.

Aufgabe 3:

Gegeben sind die Funktionen f(x)= x³ – 8x² + 25x + 14 und g(x) = 20x.

Der Graph von f ist unten abgebildet.

1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass f keine lokalen Extremstellen hat.
   Berechnen Sie die Wendestelle von f.
2. Tragen Sie den Graphen von g in die Zeichnung ein und berechnen Sie die Schnittstellen von f und g.
3. Berechnen Sie die lokalen Extremstellen der Differenzfunktion
   d(x) = g(x) – f(x) = – x³ + 8x² – 5x – 14 .
4. Skizzieren Sie mit Hilfe der bisher gewonnenen Ergebnisse den Graphen der Differenzfunktion d. Benutzen Sie dazu die obige Zeichnung.

Im Rahmen wirtschaftlicher Untersuchungen kann die Funktion f für x ≥ 0 die "Kostenfunktion" eines Unternehmens modellieren. Dabei werden die anfallenden Kosten (f(x) Geldeinheiten) in Abhängigkeit vom produzierten Gut (x Produktionseinheiten) beschrieben. Wird eine Produktionseinheit für 20 Geldeinheiten verkauft, so stellt g die "Erlösfunktion" dar.

5. In welchem Bereich muss die Anzahl x der Produktionseinheiten liegen, damit das Unternehmen keinen Verlust macht?
   Was bedeuten die Ergebnisse von Aufgabenteil c) in diesem Sachzusammenhang?
   Welche Bedeutung hat hier f(0)?